α、β、γ＞0のとき

質問

α/(β+γ)=β/(α+γ)=γ/(α+β)を解け

とりあえず(α+β)(α+γ)(β+γ)をかけて
α(α+γ)=β(α+β)(β+γ)=γ(α+γ)(β+γ)にしたのですがここからがわかりません
どうすればいいのでしょうか？

回答No.3

ramayana · ベストアンサー

未知数が3個で式が2個だから、α、β、γを特定することはできなそうです。しかし、式の形から、これらの比は特定できそうです。そこで

β = αx
γ = αy

と置くと、

α/(αx+αy ) =αx/(α+αy )
αx/(α+αy ) =αy/(α+αx )

⇒
1/(x+y ) =x/(1+y )
x/(1+y ) =y/(1+x )

⇒
1+y = x^2+xy 　　 [1]
x+x^2 = y+y^2 　　 [2]

[2]より(x-y)(x+y+1)=0となりますが、x>0、y>0なので、x=yとなります。これを[1]に代入して、1+y = 2y^2となり、y= 1 or y=-1/2を得ますが、y>0の条件があるので、y=1です。したがって、

x=1
y=1

すなわち、

α=β=γ　　　[3]

です。逆に、[3]が満たされば、元の方程式も満たされます。

お礼

なるほど
わかりました ありがとうございました

回答No.4

rnakamra

#1のものです。

α/(β+γ)=β/(α+γ)
α/(β+γ)=γ/(α+β)
β/(α+γ)=γ/(α+β)
の3つではないですか？

そのように見えますが実質は二つです。
一つ目の式と二つ目の式を見比べてください。左辺が等しいですね。これを消去すると三つ目の式が出てきます。このように三つ目の式はほかの二つの式から導かれる式であり、独立な式ではありません。

お礼

確かにそうですね
ありがとうございました

回答No.2

ShowMeHow

α(α+β)(α+γ)=β(α+β)(β+γ)
β(α+β)(β+γ)=γ(α+γ)(β+γ)
α(α+β)(α+γ)=γ(α+γ)(β+γ)
の三つの式をといてみたら？

補足

α(α+β)(α+γ)=β(α+β)(β+γ)
α^2+αγ=β^2+βγ
β(α+β)(β+γ)=γ(α+γ)(β+γ)
β^2+αβ=γ^2+αγ
α(α+β)(α+γ)=γ(α+γ)(β+γ)
α^2+αβ=γ^2+βγ

α^2+αγ=β^2+βγ
β^2+αβ=γ^2+αγ
γ^2+βγ=α^2+αβ
ここからどうするのでしょうか？

回答No.1

rnakamra

α/(β+γ)=β/(α+γ)=γ/(α+β)=k
とおきましょう。

α=k(β+γ),β=k(α+γ),γ=k(α+β)

後は、一つ目の式を二つ目と三つ目の式に代入してαを消去、βとγの連立方程式を作りそれを解きます。もちろん、kは最後まで残ってしまいます。これはどうしようもありません。
(元の式が二つの方程式の連立方程式ですのでα,β,γの三つを決めることはできないのです)

補足

α/(β+γ)=β/(α+γ)
α/(β+γ)=γ/(α+β)
β/(α+γ)=γ/(α+β)
の3つではないですか？