ロト宝くじ（のようなもの）の確率問題

質問

厳密には違いますが、ロト宝くじのようなゲームの確率問題についてお教え下さい。

1～43の数字の中から好きな数字を重複なしで6個選びます。
その後同じく1～43の数字の中からn個の当選番号が選ばれます。
ただしロト宝くじと違いここで選ばれるn個の番号は重複する場合があります。
（n個の当選番号全てが「1」となる可能性がある、ということです）
最初に選んだ6個の数字がいくつ当たったかによって1等、2等、と決まっていきます。

この場合1等（6個全て当たり）から7等（6個全てハズレ）の、それぞれの確率はどのように出せばいいのでしょうか？

なおn >= 6として想定して下さい。

回答No.6

20080715

＞具体例を出すと、n=20の場合P(4)は2.25という数値になってしまいました

n=20の場合、P(4)の値は 2.25 にはなりません。

P(4)=(20/(43)^20)*(-37^20+3*38^20-3*39^20+40^20)
=(20/(43)^20)*(6277877440124631896119231406124)
=(1/(43)^20)*(125557548802492637922384628122480)
=0.2688…
となります。

これは私の推測ですが、ryonationsさんの計算は、-37^20 の計算を、
(-37)^20 というように計算してしまっているのではないでしょうか？

＞nが奇数の場合は合計が1になったのですが、
＞nが偶数の場合は毎回違う数字になりました。

nが偶数であろうと奇数であろうと、
P(1),P(2), …,P(7) の合計は常に 1 になります。
このことを実際に計算してみます。

P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)

=(1/(43)^n)*(
(37^n-6*38^n+15*39^n-20*40^n+15*41^n-6*42^n+43^n)
+(6/(43)^n)*(-37^n+5*38^n-10*39^n+10*40^n-5*41^n+42^n)
+(15/(43)^n)*(37^n-4*38^n+6*39^n-4*40^n+41^n)
+(20/(43)^n)*(-37^n+3*38^n-3*39^n+40^n)
+(15/(43)^n)*(37^n-2*38^n+39^n)
+(6/(43)^n)*(-37^n+38^n)
+(1/(43)^n)*(37^n)
)

=(1/(43)^n)*(
(37^n-6*38^n+15*39^n-20*40^n+15*41^n-6*42^n+43^n)
+6*(-37^n+5*38^n-10*39^n+10*40^n-5*41^n+42^n)
+15*(37^n-4*38^n+6*39^n-4*40^n+41^n)
+20*(-37^n+3*38^n-3*39^n+40^n)
+15*(37^n-2*38^n+39^n)
+6*(-37^n+38^n)
+(37^n)
)

=(1/(43)^n)*(
(37^n)*(1-6+15-20+15-6+1)
+(38^n)*(-6+30-60+60-30+6)
+(39^n)*(15-60+90-60+15)
+(40^n)*(-20+60-60+20)
+(41^n)*(15-30+15)
+(42^n)*(-6+6)
+(43^n)*(1)
)

=(1/(43)^n)*(43^n)

=1.

私はNo.5の回答をつくるときに、計算はすべて数式処理ソフトを使って行いました。
(　DERIVE (デライブ) という名のソフトです。)
ryonationsさんは一体どのような手段で計算を行っていらっしゃるのですか？

お礼

No.5にあった数式をExcelにコピペしてnの部分を数値に書き換えて出た数値を足していました。
Excelが正しく計算してくれていなかったのですね。
合計が1になるのが分かったので納得しました。

有難うございました！