立方体に内接し、外接しあう2つの球について．．．

質問

次の問題の解説をお願いしますm(__)m

1辺の長さが2の立方体ABCD-EFGHの中に互いに外接する2つの球S1とS2が含まれている。ただしS1は常に面ABCD、面ABFE、面ADHEに接していて、S2は常に面BCGF、面CGHD、面EFGHに接している。このとき2つの球S1のS2体積の和の最大値、最小値を求めよ。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

対称性からS1,S2のそれぞれの中心O1,O2は対角線AG上にある(図参照)。
S1,S2のそれぞれの半径をr1,r2とするとS1,S2が立方体に内接し、互いに外接することから
　√3r1+r1+r2+√3r2=AG=2√3
が成り立つ。整理すると
　r1+r2=2√3/(√3+1)=3-√3 ...(1)
ここでr1,r2の取りうる範囲は最大球の条件からr1,r2の上限は1。片方の球が最大球の時、片方は最小球になるからその時の半径から下限は(√3-1)/(2√3)=(3-√3)/6。
　(3-√3)/6≦r1≦1,　(3-√3)/6≦r2≦1…(★)
S1とS2の体積の和をVとおくと
　V=(4/3)π(r1^3+r2^3)
　 =(4/3)π(r1+r2){(r1+r2)^2-3r1r2}
(1)を代入
　V=(4/3)π(3-√3){(3-√3)^2-3r1r2}
　 =(4/3)π(3-√3)(12-6√3-3r1r2)
　 =4(3-√3)π(4-2√3-r1r2) ...(2)
(1)から
　r2=3-√3-r1 ...(3)
(★)から
(3-√3)/6≦3-√3-r1≦1
(3-√3)/6≦r≦1より
∴2-√3≦r1≦1 ...(4)
(3)を(2)に代入
　V=4(3-√3)π{4-2√3-r1(3-√3-r1)}
　 =4(3-√3)π[{r1-(3-√3)/2}^2+(2-√3)/2]
　≧4(3-√3)π(2-√3)/2=2(9-5√3)π
r1(=r2)=(3-√3)/2の時　Vの最小値=2(9-5√3)π
r1=1(r2=2-√3)　または　r1=2-√3(r2=1)　の時
　Vの最大値=4(9-5√3)π
となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞r1,r2の取りうる範囲は最大球の条件からr1,r2の上限は1
これがよくわからないので教えていただきたいです。

補足

あ、ごめんなさい”お礼”に書いたことは無視してください。
当たり前のことを書いてしまいましたm(_ _)m

改めてお礼させていただきます。