• ベストアンサー

【場合の数】解き方がわからない

nを自然数とする。区別のつかない白色の箱が2箱と赤色の箱と黒色の箱がそれぞれ1箱ある。1番からn番までの番号が記されたn枚のカードがあり、それぞれのカードを4箱のいずれかに入れる。ただし、カードが入らない箱があってよいものとする。カードの入れ方の総数を求めよ。 解法を教えていただけないでしょうか。ヒントでもいただけるとうれしいです。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.1

ヒントだけ 白色の2箱を区別できるとして、 白色の箱に1枚も入らない場合と、1枚以上入る場合に分けて考える。

inu6228
質問者

お礼

ヒントありがとうございます。無事解けました!感謝です

関連するQ&A

  • 高校数学の場合の数の問題です。

    nを自然数とする、n個のボールを3つの箱に分けて入れる。次のように入れる入れ方は何通りあるか。ただし、一個のボールも入らない箱があっても良いものとする。 (1)1からnまで異なる番号のついたn個のボールを、A、B、Cと区別された3つの箱に入れる (2)互いに区別のつかないn個のボールを、A、B、Cと区別された3つの箱に入れる (3)1からnまで異なる番号のついたn個のボールを、区別のつかない3つの箱に入れる やり方も含めて教えていただけると助かりますm(__)m

  • 場合の数

    12個のボールを3つの箱に分けて入れるとき、以下の場合について、入れ方の総数を求めよ。 (1)ボールに1~12の番号がついていて、箱もA,B,Cと区別できるとき。 (2)ボールの区別ができずに、箱はA,B,Cと区別できるとき。 (3)ボールに1~12の番号がついていて、箱が区別できないとき。 (4)ボールも箱も区別できないとき。 上記の問題で、(1)の解答は3の12乗、(2)まではわかりました。 (3)と(4)に関してどのように解いたらよいのかが分かりません。お教えいただければ幸いです。

  • 5-8 高校数学 場合の数

    nを正の整数とし,n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える、ただし1個のボールも入らない箱があってもよいとする 以下に述べる4つの場合について、それぞれ相異なる入れ方の総数を求めたい (1)1からnまで異なる番号のついたn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか (2)互いに区別のつかないn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか (3)1からnまで異なる番号のついたn個のボールを区別のつかない3つの箱に入れる場合その入れ方は全部で何通りあるか (4)nが6の倍数6mであるときn個の互いに区別のつかないボールを区別のつかない3つの箱に入れる場合その入れ方は何通りあるか 解説(1)は3^n通り (2)は[n+2]C[2]=(n^2+3n+2)/2通り (3)求める場合の数を次のように三分割する n個とも1箱だけにいれるもの・・・x通り n個を2箱に分散して入れるもの・・y通り n個を3箱に分散して入れるもの・・・z通り これらx,y,zと(1)との関係を考えると、まずx=1であり(1)ではこれを3通りと数えy通りの1つ1つを(1)では 3!通りと数えz通りの1つ1つを(1)では3!通りと数えている したがって x×3+(y+z)×6=3^nよって求める場合の数x+y+zは1+y+z=1+(3^n-1×3)/6={3^(n-1)+1}/2通り (4)3箱のボールの個数をa,b,c(a<=b<=c)としa=b=cをみたすもの・・p通り a=b<c or a<b=cをみたすもの・・q通り a<b<cをみたすもの・・r通り すると(2)の場合の数はp+3q+6r通りと数えられるからp+3q+6r=(n^2+3n+2)/2・・・(2) ここでp=1であり、またq通りは(0,0,6m),(1,1,6m-2),・・・、(3m,3m,0)の3m+1通りから(2m,2m,2m)の1通り を除いてq=3mである  よって(2)からr=1/6×{(36m^2+18m+2)-(1+3×3m)}=3m^2 以上により答えはp+q+r=3m^2+3m+1通り とあるのですが (3)のx,y,zが(1)で1や3!通りずつという所と x×3+(y+z)×6=3^n の所が何を意味しているのか分かりません (4)の解説で(2)の場合の数がp+3q+6rの所とr=1/6{}=3m^2 以上によりp+q+r=3m^2+3m+1通りというのが何でなのか分かりません

  • 二項定理を使いたくないんですが・・

    横一列に並んだ2n人(nは自然数)の子供から (ⅰ)どの子供も赤青黄のカードを持っている (ⅱ)左端の子供から順に赤青黄のいずれかのカードを出していき、同じ色のカードを出した2人をペアにする。同じカードの色が3枚以上出る場合は左から順に2人ずつをペアにする。 という条件をみたして2人ずつのペアにする。 (1)黄のカードを出した子供がいないとき、n組のペアができるカードの出し方は何通りあるか。 (2)ペアをつくれない子供が2人いるカードの出し方は何通りか という問題なんですが、解答には二項定理を使っています。わからなくはないんですが得意ではないから違う解法を考えています。解答にも(1)は 1番目から2n-1番目までは2^2n-1通りある。このとき赤と青の一方が偶数枚、他方が奇数枚だから、2n番目は奇数枚の色を出せばよいから 2^2n-1×1=2^2n-1通り…答 とありこれはわかったんですが(2)は二項定理を使ったものしかないんです。なにかほかの解法をできたら教えてください。

  • 確率の問題

    箱の中に1番からN番までの番号札が1枚ずつ合計N枚入っている。この箱から同時に4枚の番号札を取り出す。この4枚の札の中で、最小の番号が3である確率Pnとるす。ただし、N≧6とする。 (1)Pnを求めよ (2)Pn<Pn+1 となるNをすべて求めよ (3)Pnを最大にするNとその最大値を求めよ (1)PnをN-3C3/NC4と計算し 4(N-4)(N-5)/N(N-1)(N-2)となったのですが、(2)以降でN≧6であるから、変じゃないか…?と思い、立ち止まってしまいました。 解答のヒントでもぃぃのでよろしくおねがいします

  • 確立の最大値

    箱の中から1番からN番までの番号札が1枚ずつ合計N枚入っている。この箱から同時に4枚の番号札を取り出す。この4枚の中で3最小の番号が3である確立をP(N)とする。ただしN≧6 (1)P(N)を求めよ。 (2)P(N)<P(N+1)となるNを全て求めよ。 (3)P(N)を最大にするNとその最大値を求めよ。 (1)と(2)は理解しています。 問題は(3)です。私は ・・・P(N-2)<P(N-1)<P(N)>P(N+1)>P(N+2)・・・ と考えて、 P(N-1)<P(N)とP(N)>P(N+1)を解きましたがすると11<N<12となって自然数Nが出てきません。 P(N)<P(N+1)とP(N)>P(N+1)を解くとN=11はでました。でも解法は上ので間違ってないと思うのですが、私の解法はどこがおかしいのでしょうか? 解答解説は 6≦N≦10のときP(N)<P(N+1) N=11のときP(N)=P(N+1) 12≦NのときP(N)>P(N+1) 場合わけしてやってました。 するとN=11、12と出てます。 N=12とすると P(N)=P(N+1)は成り立たないはず。N=12は誤りではないでしょうか? この手の問題はP(N)=P(N+1)を意識して解くべきでしょうか?

  • 場合の数の超基本問題

    赤、青、黄、緑の4色のカードが5枚ずつ計20枚ある。 各色のカードは、それぞれ1から5までの番号が一つずつ書いてある。 この20枚の中から3枚を取り出して並べるとき、3枚のうちに赤のカードがちょうど1枚含まれる確率は? 私の答えは、 5(どの番号の赤色か)×15×14(残りの2枚はどれか?)×3(赤のカードが出るタイミングはどこか?) で、5×15×14×3です。 多分答えは合ってると思うのですが、他に考え方はありますか?

  • 自然数の分割に関連する質問

    1.和が n(>1) になる自然数の組合せ(注1)に対し、並べ方の総数が最大となる自然数の組み合わせ(注2)を式で導出することは可能でしょうか?可能ならばその式を教えてください。 2.また、上記の、和がnになる自然数の組合せに対し、並べ方の総数が最大となるような自然数の組み合わせを求めるということが、実際の社会、学問等におけるなんらかの意味のある問題を考える際に必要であれば、その必要となる具体的状況を教えてください。 2だけの回答でもかまいません。よろしくお願いします 注1 n=5の場合 (5),(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1)の7通り 注2 n=5の場合 (2,1,1,1)は(1,2,1,1),(1,1,2,1),(1,1,1,2)を含め並べ方は全部で4通りあり、            (2,1,1,1)が並べ方の総数が最大となる自然数の組み合わせである。    n=6の場合 (3,2,1)と(2,2,1,1)が並べ方の総数が最大となる自然数の組み合わせである。

  • 5-8 高校数学 場合の数

    nを正の整数とし、n個のボールを3つの箱に分けて入れる問題を考える ただし1個のボールも入らない箱があってもよいものとする 以下に述べる4つの場合についてそれぞれ相異なる入とれ方の総数を求めたい (1)1からnまで異なる番号の付いたn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか (2)互いに区別の付かないn個のボールをA,B,Cと区別された3つの箱に入れる場合その入れ方は全部で何通りあるか (3)1からnまで異なる番号の付いたn個のボールを区別の付かない3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか (4)nが6の倍数6mであるとき、n個の互いに区別の付かないボールを区別の付かない3つの箱に入れる場合、その入れ方は全部で何通りあるか (解説) (1)3^n (2)A,B,Cにそれぞれa,b,c個入るとしてa+b+c=n(a>=0,b>=0,c>=0)(1) をみたす整数解(a,b,c)の個数を求めればよいが、(1)は(a+1)+(b+1)+(c+1)=n+3 (a+1>=1,b+1>=1,c+1>=1) と同値であることに着目して[n+2]C[2]=(n^2+3n+2)/2通り (3)求める場合の数を次のように3分割する nことも1箱だけに入れるもの...x通り n個を2箱に分散して入れるもの...y通り n個を3箱に分散して入れるもの...z通り これらx,y,zと(1)との関係を考えると、まずx=1であり(1)ではこれを3通りと数えy通りの1つ1つを(1)では3!通りと数えz通りの1つ1つを(1)では3!通りと数えている したがってx×3+(y+z)×6=3^n(x=1) よって求める場合の数x+y+zは1+y+z=1+(3^n-1×3)/6=(3^(n-1)+1)/2通り (4)3箱のボールの個数をa,b,c(a<=b<=c)とし(3)と同様に求める場合の数を次のように3分割する a=b=cをみたすもの...p通り a=b<c or a<b=cをみたすもの...q通り a<b<cをみたすもの...r通り すると(2)の場合の数はp+3q+6r通りと数えられるから p+3q+6r=(n^2+3n+2)/2(2) ここでp=1であり、またq通りは(0,0,6m)(1,1,6m-2)....(3m,3m,0)の3m+1通りから(2m,2m,2m)の1通りを除いてq=3mである、よって(2)から r=1/6×{1/2×(36m^2+18m+2)-(1+3×3m)}=3m^2 以上により答えはp+q+r=3m^2+3m+1通り の (3)のx,y,zが(1)で1や3!通りずつという所と x×3+(y+z)×6=3^n の所が何を意味しているのか分かりません (4)の解説で(2)の場合の数がp+3q+6rの所とr=1/6{}=3m^2 以上によりp+q+r=3m^2+3m+1通りというのが何でなのか分かりません を質問したら (3) n個とも1箱だけにいれるもの・・・x通り これが(1)の数え方なら3通りあり、(3)の形では1通り n個を2箱に分散して入れるもの・・y通り n個を3箱に分散して入れるもの・・・z通り yとzの数は同じ考え方で計算できるという意味で同じです。 例(6,2,1)(6,1,2)(1,6,2)(1,2,6)(2,6,1)(2,1,6) は全て同じものとして考えられますが、同様にして (6,3,0)(6,0,3)(0,6,3)(0,3,6)(3,6,0)(3,0,6) となりこの両者は同じものです。この両者は同じですから分けて考えるのではなく、同じものとして(y+z)を求めた方が楽 xとy,zの違いは一番多く入った箱以外の二つの箱を区別するかどうかだけです。 便宜的に箱をABCと名前をつけると、(1)の結果から3^n通あり ここからどれか一つの箱にだけ入っている場合の3通りを引くと(3^n-3)になります。この箱の名前を付け替えるとすればA→3通り、B→2通り、Cは残り、と3!通りあるはずです。 したがって、x+y+z = 1 + (3^n-3)÷3! (4) まずa=b=c の時は1通りしかないのは問題ないでしょう。このとき、a=b=c=2mです。次にa=b<c or a<b=cをみたすもの・・q通り ですが、a=bのとき、a<cなのでaは0から2m-1までの2m通り、同様にb=cのときはbは2m+1から3mまでのm通りあるはずです。 a<b<cをみたすもの・・r通り a<b<cから、aは0~2m-1までの2m通りあるはずです。aとbが決まればcも決まるという関係上、aとbだけを考えればよいです ここでaが奇数のときはm通りあり a=2m-1の時、b+c=4m+1からbは2mの1通り a=2m-3の時、b+c=4m+3からbは2m-2~2m+1の4通り ・・・ a=1の時、b+c=6m-1からbは2~3m-1の(3m-2)通り よりΣ(3m-2)=3m(m+1)/2-2m通り 偶数のときも同様にm通りあり、(b=cとなるときを除外しなければならないのに注意) a=2m-2の時、b+c=4m+2からbは2m-1~2mの2通り a=2m-4の時、b+c=4m+4からbは2m-3~2m+1の5通り ・・・ a=0の時、b+c=6mからbは1~3m-1の(3m-1)通り よりΣ(3m-1)=3m(m+1)/2-m通り よって 3m(m+1)/2-2m + 3m(m+1)/2-m と回答して下さったのですが (3)でyとzが同じとあるのですが例えばn=6の時 箱が空の時(3,3,0),(3,0,3),(0,3,3)とあり箱に入る球がすべて違うとき(1,2,3)(1,3,2)(2,1,3)(2,3,1)(3,1,2)(3,2,1)となり異なるのではないですか?同じと言うのが何故同じなのか分かりません 仮に(y+z)を求めるとして、 (3^n-3)になるのも分からないです (4)は偶数と奇数で分ける所ですが偶数だとb=cの場合があるから分ける必要があるとあるのですがb=cになると何故駄目なのでしょうか?

  • 確率漸化式の問題

    n個の箱とn個の玉がある。n個の箱には1,2,・・・,nと通し番号がついている。n個の玉にも1,2,・・・,nと通し番号がついている。いま、n個の箱に1つずつ玉を入れるとき、箱の番号と玉の番号が全部異なっているような入れ方の総数をu[n]とする。 (1)u[1]=0,u[2]=1,u[3]=,u[4]= (2)u[n+1],u[n],u[n-1]の間に成り立つ関係式を求めよ。 (3)u[n+1],u[n]の間に成り立つ関係式を求めよ。 (1)のu[3]=2,u[4]=9だと思うのですが、(2),(3)が解けないので 解き方を教えてくれませんか。よろしくお願いします。