「光速度不変」は本当に可能か?

質問

特殊相対性理論の２大前提の一つである「光速度普遍の原理」は、「いかなる慣性系から見ても光速は常に一定である」と主張するものですが、次のような思考実験から、これは不可能であるように思われます。

動いている電車の中に、光源と、その光源を挟んで電車の進行方向とその反対方向に等距離の地点に、光を検知するセンサーがあります。電車の中にいる人には、光源から両方向に出た光は同時に２つのセンサーに感知され、一方、電車の外で線路に対して静止している人から見れば、光源の後ろ側にあるセンサーの方が先に光を感知します。さて、この２つのセンサーが同時に光を感知したときだけ電車が停止するような装置が搭載されているとします。この場合、中の人にとっては電車は停止し、外で見ている人にとっては停止することなく走り続けることになります。これは現実にはあり得ません。

光速度を不変とする限り、上記の矛盾は回避不可能であり、「光速度不変の原理」は誤りであることが、この思考実験だけで完全に証明されていることにならないでしょうか。この原理の矛盾を暴露する方法は他にもありますが、このように「光速度不変」が矛盾をはらんでいることについて、皆さんはどのように思われますか？

特に、相対性理論の専門家の方々にお尋ねしたいです。

宜しくお願いいたします。

回答No.40

中村 拓男（@tknakamuri）

No.31に関する補足です。
計算はご自身でやっていただくとして、計算方法を述べます。

双子のパラドックスの計算とはつまり、移動する物体の「固有時間」の計算です。
「固有時間」とは移動する物体と一緒に移動する時計の示す時刻のことです。

で、対象となる移動物体の運動は等速直線運動の組み合わせだとしましょう。
つまり、時空図上では折れ線グラフになります。

さて、固有時間の計算ですが、ある等速直線運動における固有時間は

(Δτ)^2=(Δt)^2-(Δx/c)^2　Δτ: 固有時間の変化　Δt: 慣性系での時刻変化, Δx: 物体の移動距離

これはローレンツ変換そのものですが、これを各等速直線運動で求めて積算し
固有時間の積算値を求めてください。

2物体の運動は、最初は同じ場所から出発し,この時の両者の固有時間を 0 とします。
どこかで再び出会うように運動を決めて計算し、再び出会った時の固有時間を計算して
見てください。
＃例えば物体Aは慣性系に対して停止、物体Bは慣性系に対して光速の半分で2秒進み、
＃慣性系に対して光速の1/4で4秒かけて戻ってくる。

これで有る慣性系で測定した双子の固有時間が求まります。

次に、双子がたどった全軌跡をローレンツ変換して別の慣性系に移し、もう一度
固有時間を計算してみてください。
＃例えば最初に設定した慣性系に対して光速の半分で進む慣性系

慣性系が違うのに、計算値が何一つ変わらないことが確認できるはずです。
＃上の例だと A の固有時間は 6sec B の固有時間は √(3)+√(15)≒5.6

このことは、双子の年の差は、双子が時空をどのように移動したかで決まり、慣性系は
関係ないことが判ります。つまり過去にどのように速度を「変えたか」で年の差が
決まるのです。

「固有時間」はいろいろな本に載っていますので、詳細はそれを参照してください。

尚、「固有時間」の考え方はローレンツ変換の拡張として容易に類推できるものですが
厳密には特殊相対論の範疇ではありません。上で述べた突如速度が変わるような運動は
本当はありえず、加速度運動をする物体でも固有時間が計算できることの厳密な
証明(加速度運動が無数の微小な等速直線運動を合わせたものであるとして計算してよいことの証明)には
一般相対論が必要です。しかも証明は恐ろしく難しい。

この辺りが「固有時間」を特殊とするか、一般とするか意見が分かれるところです。

それでは頑張ってください。

回答No.39

cocacola2010

等速直線運動である時、
「時間の遅れ」（互いに成り立つ）
「ローレンツ収縮」（互いに成り立つ）
「同時刻の相対性」（互いに相手の進行方向の時計は過去を示す）
全て同時に考えれているか（一つでも欠くと当然矛盾が生じます）
ミンコフスキー時空図（とは言っても縦を時間、横を空間としてグラフを書いただけ）
で理解の補助を得ながらもう一度考えなおしてください。
（本来はローレンツ変換で計算するのが正しいのですが）

加速が起こった時、
ごくシンプルな一瞬の折り返しの場合で構いません。
何が起こるのかをミンコフスキー時空図を見てよく考えてみてください。
「加速の影響が無視できる」という主張がどれだけ無意味だったか分かるはずです。

間違った理解からは何通りでも矛盾する結果を導き出せます。
これに一つ一つ答えるのは不毛というものです。

■出題

「長さ60万kmの列車がある。これが一瞬にして加速し、光速の約87％になった。
この時ローレンツ収縮の割合はγ=2である。
つまり列車の長さが一瞬で60万kmから30万kmになるはずである。
この事から列車の先端が30万km（左右対称に縮んだとして15万km）一瞬で移動したことになる。
これは慣性系から見て、光速以上のスピードで物が動いたことを示している。」

もちろん慣性系からみて列車の先端が光速以上で動くことはありません。
何処が間違っているか、正しくはどうなるのか、分かるでしょうか？

回答No.38

noname#175206

お礼、ありがとうございます。#24です。何か、お礼・補足通知でシステムに何かあったみたいで、お礼を頂いていたことを知って、あわてて戻ってきました。

>（あくまで、自分で勉強して知れと仰るなら、これ以上は問いません。）

　基本的は、現時点の質問者様に対してはですが、その通りです。

　それはなぜか。せっかく、ここで少しずつ理解を深めてはいらっしゃいます。それはいいことなんですけど、全てが個々のケースになってるんですね。それではいつまでたっても終わりません。

　あるケースは納得できても、別の問題設定については分からないから、説明をご希望される。それでは、時間も労力もお互いにとても足りません。ありていに申せば、こういうやり方では、お互いに寿命のあるうちに終わらないのです。なぜなら、問題設定のやり方は無数にありますから。

　それでは質問者様にとって、いい結果も得られないし、大事な人生の時間の無駄遣いです。個々に追加で質問されたり、納得いかないとされておられることは、先にご紹介した書籍を理解すれば、そこに直接の答えが書いてなくても、容易にご自身でお解きになることができます。
　もちろん、どんな問題設定をしても、それが特殊対論だけに収まるなら（つまり、相対論的力学を始めとする、他の物理学の特殊相対論化での答をお求めないなら）、基本的には、ご自身で解決できます。

　少し拡張して、空間を2次元にしたくなったら、もういっそ空間3次元と時間1次元で解説してある、普通の特殊相対論の教科書に進めばいいのです。こういう現実世界の4次元時空でもローレンツ変換なのですが、こちらを本義ローレンツ変換、先の本にあるような空間の移動方向を1次元（そして時間1次元）に限定して分かりやすくしてあるのを、特殊ローレンツ変換と呼んで区別することがあります。

　特殊ローレンツ変換だからといって、基本的な特殊相対論の考え方は完璧に分かりますし、本義ローレンツ変換的な問題でも、できれば特殊ローレンツ変換に持ち込むことはよく行われます。何せ計算が簡単になりますから。

　もう今回は質疑応答を終えて、特殊ローレンツ変換で、基本的な理解をしてみてください。疑問に思われた、別々に見える事柄が、実は見え方だけは違うけど、全て同じことを考えていたのだ、ということが分かります。それには、先にお勧めした教科書が、私の知っている範囲では、最もお勧めできるものです。

回答No.37

cocacola2010

■No.32お礼内容に関して

＜＜これらの議論は、「粒子の時間の遅れ」と同一線上にあると私は思うのですが？

同一線上にあると思うなら「粒子の時間の遅れ」の意味をちゃんと理解してから先に進んでください。
貴方の「計算結果」を見る限り、ほとんど理解できていません。
同一線上にある以上、一方で間違った理解をしているならば、もう一方も必然的に間違った考察をすることになるのです。
「数値的根拠をお示し願います。」とありますが、結果だけを得てその事象は良しとして
この先も、同一線上にある事象や、関連性のある事象を次々と例に上げて個々を計算させるつもりでしょうか。
「計算できないのであれば、私が正しい」とでも言いたげに聞こえますが、
その計算がどれだけ時間食うのか知っていて回答者を振り回しているのでしょうか。

「○○だから○○は無視できる」というイメージによる設定が目立ちます。
そんなものは成り立ちません。成り立つというなら貴方が証明してください。

＜＜さらには、脱出速度で地球を周回し続ける航空機から見た場合、Gは無いわけですから、一般相対論的効果は生じず、上記の実験で「証明」済みの相対運動による時間の遅れだけが残ります。
たとえ脱出速度程度でも、時間差が例えば一日になるまで飛び続けることは可能で、帰還した時の両者の見解に矛盾が生じることになるはず

です。この場合、減速・着陸時程度のGの影響は無視できますから。

そもそも加減速のGが影響しているわけではありません。
慣性系の変化が本質であって、Gはそれに伴ってついてくるだけです。
Gの大小では決まりません。問題なのは、最初の速度、最後の速度、互いの位置です。
それから、飛行機で地球を一周するのは「加速」です。前にも言いませんでしたか？
「互いに遅れ続ける」事にはなりません。

＜＜たとえ脱出速度程度でも、時間差が例えば一日になるまで飛び続けることは可能

明らかに自分で計算してないでしょう。イメージばかりで好き勝手言わないでください。
400万年近くかかりますよそれ。

等速直線運動していると互いに時間が相対的に遅れて観測される。
加速している側から見ると、加速した瞬間に相対的に相手の時間が一気に進んで観測される。（観測と言っても、光などの情報を受け取るのとは別の意味ですが）

http://sf-fantasy.com/magazine/column/relative/200210.shtml
http://www.geocities.jp/hp_yamakatsu/twinparadox.html
http://cat2.edu.kagoshima-u.ac.jp/Text/public/Physics/relativity/special/thoughtExp/exp3.htm
http://www.infonia.ne.jp/~l-cosmos/relativity/twins/TwinParadox.html

説明しているサイトはいくらでもあるし、それを見て理解できない意味が分かりません。

こういう事言うのも何ですが
「同時の相対性」知らなかった時点で
知識・理解度が本屋で30分立ち読みした中学生にも劣ります。
「相対性理論の不思議な現象」として、先ず間違いなく紹介されていることです。
背伸びしすぎではありませんか？

回答No.36

cocacola2010

■質問者さんの立ち位置

A　思考実験で示される「理論の内部矛盾」
B　思考実験の帰結だが「到底受け入れられない」「現実には起こりそうにない」
C　思考実験の帰結だが「実験で証明されていない」
D　観測事実で示される「観測事実で理論と異なる結果が生じた」

1. 主張ごとに立場を明確にしてください。

2.単に「矛盾」と言えば、それは普通「理論の内部矛盾」を指します。
　それ以外は「観測結果と矛盾する」「他の理論と矛盾する」等と必ず分かるように明記してください。

3.「受け入れらない」「現実に起こりそうにない」「実験で示されていない」
　これらを「矛盾」と表現するのはやめてください。

これらは何処でも守られるべき当たり前のルールです。

特にミューオンの話題では、何か指摘される度に後付けの解釈で
「実はこう言いたかった」と言っている様にしか私には見えません。

■質問者さんの「計算結果」について

間違ってます。
＜＜tA＝tB＝０の瞬間における、Aから見たBまでの距離Dは、Bから見たAまでの距離に等しいから、Bから見ると、Bは時刻D/ｖにおいてAに出会うことになる。

Bから見た場合にだけ、ローレンツ変換を無視してますね。
「Aから見たBまでの距離Dは、Bから見たAまでの距離に等しい」とありますが
ローレンツ収縮は何処へ行きましたか？
意図して適用しなかったのであれば、その理由はなんですか？

■「トンネルと列車」について質問者さんの計算について

ローレンツ変換の意味を理解できていません。
（それとγ＝1/√(1－(v/c)2)と記号を置くのが通例ですので、合わせてください）

質問者さん回答は

K系基準で考えて、相手側が速度-vだから
χ’＝γ(χ＋vt)
の式を立てる。

k系基準で考えて、相手側が速度vだから、今度はvの符号を逆にして
χ’＝γ(χ-vt)　　（回答ではχ’＝γ(χ+vt）になっていますが、流れから見て入力ミス？）
の式を立てる。

こう考えた回答の様です。
慣性系ごとに常に静止している方がx、動いている方がx'として
見方を変えてそれぞれ別個に式を立て直している様ですが。
正しくは「xはk系固有の物」「x'はK系固有の物」等として扱わなければなりません。

それぞれの慣性系から都合良く式を立て直してしまっては「互いに短くなる」の根拠になりません。
「y'=ay」なら「y'/a=y」（この場合では、y'がyのa倍なら、yはy'の1/a倍）
このような変形を使って議論してこその「変換式」です。

ローレンツ変換
xB＝γ(xA-vt) 　
tB＝γ(t-βxA/c)

このxB,tBでまとめられた連立方程式を,
式に含まれるxA,tAについてまとめ直せば自動的に

xA＝γ(xB+vt) 　
tA＝γ(t+βxB/c)

となります。
式をもう一度立て直す必要はありません。等価な1つの連立方程式です。

また、慣性系ごとに長さL、Xを置きなおしているのも同様の理由でNGです。
慣性系での長さを定義したら、その慣性系固有のものとして扱ってください。

No30の趣旨をもう一度言います。
「全く同じ式から、T'=T/γ　T=T'/γという一見両立しない、2つの等式が導出された。
　数学的に考えて、これらが両立し得たその理由を考察せよ」
です。

■「ある一瞬を見れば等速直線運動をしている場合に等しい」の話題

「ある一瞬の異なる2点の時間ずれ」に関しては、その一瞬にローレンツ変換を適用しても構いません。
その意味では、確かにそうですね。

それ以外の要素は
例えば以下のPDFの「§6速度、加速度の変換則」のように微分方程式を含む議論が必要になります。

http://www.geocities.jp/mtsugi04/re3.PDF

■出題

凝った設定を考える前に、気づくべきことが山ほどあるでしょうに。

例えば
静止状態で同時刻に並べられた時計があり、観測者自身が静止状態から突然負方向に動き始めたとすると

観測者から見た時計　０ ０ ０ ０ ０ ０ ０　　　（観測者に対して静止）

観測者から見た時計　３　２　１　０　-１　-２　-３　（観測者に対して正方向に動いている）

動き出す前と後を比較すれば
観測者から見て、「針が一気に進む時計」「針が逆戻りする時計」が存在することになるはずですが
同時刻の相対性を知った時、これは疑問に思いませんでしたか？
よほどこちらの方が不思議だと思いますが。どう考察しますか？
また「矛盾するから光速度不変は間違ってる」で済ませますか？

私は解答を言いませんし返答もいりませんから、自分で調べ考えてみてください。

ああそれと、
「あらゆる慣性系で光速度一定」って正しくは「光速度不変の原理」じゃないですよ
趣旨と関係ないからスルーしてましたけど。
それでは

回答No.35

cocacola2010

「AB２者の反対方向への移動と帰還」

■設定条件
系0：静止系
点A:原点を速度-vで出発し、位置-Lで折り返し、速度 vで帰ってくる
点B:原点を速度 vで出発し、位置 Lで折り返し、速度-vで帰ってくる
折り返しは一瞬。（加速度∞、加速時間0）

■ローレンツ変換を扱いやすくするため、以下のようにおく
X=x, T=ct
するとローレンツ変換の式は
X'=γ(X-βT)
T'=γ(T-βT)
（β=v/c、γ=1/√(1－β^2))
と簡潔になる。
*β=v/c（光速に対する速度の割合）である。
つまりX=βTはx=βctであり、光速のβ倍の速度を持つ点の条件式

■系Oから見た点Aと点Bの条件式は以下のようになる。
点A:
XO=-βTO {0 <TO< L/β} 式a1
XO= βTO-2L {L/β<TO<2L/β} 式a2
点B:
XO= βTO {0 <TO<2L/β} 式b1
XO=-βTO+2L {L/β<TO< L/β} 式b2

*添え字O, A ,Bはそれぞれの系を基準とした時の量とする。

■ローレンツ変換
ローレンツ変換はXO=βTOのような原点を通る系についての式であるが
XO=βTO-2Lのような式も(XO+2L)=βTO→ X'=βTOとすれば適用できる。
上記の式a1,a2,b1,b2に対応するローレンツ変換として
A1:
XA=γ(XO+βTO)
TA=γ(TO+βXO)
A2:
XA=γ(XO-βTO+2L)
TA=γ(TO-βXO-2L)
B1:
XB=γ(XO-βTO)
TB=γ(TO-βXO)
B2
XB=γ(XO+βTO-2L)
TB=γ(TO+βXO-2L)

■点Aから見た点B
系Oから見た点Bの条件式、式b1式b2をローレンツ変換A1,A2
を使い変換することで求めることができる。
単に、(1)速度-v,(2)速度vの慣性系で点Bを観測した時
(1)
XA=2β/(1+β^2)*TA　{0<TA <γ(1+β^2)L/β} 式b1'
XA=2γL (一定) {γ(1+β^2)L/β<TA<2γL/β} 式b1''
(2)
XA=2γL (一定) {-2γβL<TA<γ(1-3β^3)L/β} 式b2'
XA=-2β/(1+β^2)*TA+4L/γ(1+β^2)　{γ(1-3β^3)L/β<TA<2L/γβ} 式b2''

■点Aの時刻
系Oから見たAの出発地点、折り返し地点、帰還地点
(X0,T0)=(0,0),(-L,L/β),(0,2L/β)
をローレンツ変換A1,A2に代入することで得られる。
出発時　　　　　TA=0
折り返し直前 TA=L/γβ
折り返し直後 TA=L/γβ
帰還時 TA=2L/γβ
折り返し地点直前はA1、折り返し直後A2のローレンツ変換をそれぞれ用いたがそれぞれの時刻が一致している。
この事は、上記までの立式がA自身の時刻を不連続に跳躍させない事を示している。

■折り返し直前と直後における点Aから見た点Bの時刻
直前　
・系Oからの速度-vの慣性系
折り返し直前の時刻TAは、式b1'の時間領域に含まれる。
よって式b1'および対応するローレンツ変換A1,B1を用いて、
この時刻TAに対応する時刻TBを求めると、

TB=L/γ^3β(1+β^2)

直後
・系Oからの速度vの慣性系
折り返し直後のTA時刻は、式b2''の時間領域に含まれる。よって式b2''を適用し、
よって式b2''および対応するローレンツ変換A2,B2を用いて、
この時刻TAに対応する時刻TBを求めると、

TB=(1+2β^2-3β^4)L/β(1+β^2)
=2L/γβ-L/γ^3β(1+β^2)

以上より、Aの折り返しの過程で点Aから見た点Bの時刻には一瞬で
折り返し地点の位置Lに比例したジャンプが生じる。
時刻差は

ΔTB=2L/γβ-2L/γ^3β(1+β^2)

式b1'式b2''より
ジャンプ直前、点Bは
XA=2L/γ(1+β^2)の位置を正方向に移動しており
ジャンプ直後は
XA=2L/γ(1+β^2)の位置を負方向に移動している。
つまり、まだ自身の折り返し地点に達していないBが
一瞬で折り返し地点まで行き、元の位置に帰ってきたように観測される。

■それぞれの点が経験した時間

点Aに関して
前述したように
折り返しまでΔTA=L/γβ、更に帰還までΔTA=L/γβ
合計TA=2L/γβ

点Bに関して
折り返し地点以外では、式b1'b2''よりABの相対速度ωは
ω=2βc/(1+β^2) もしくは
ω=-2βc/(1+β^2)であるので
時間の遅れの式を使えば,行きも帰りも

ΔTB=√1-(ω/c)^2ΔTA
　　=L/γ^3β(1+β^2)
と計算できる。

ジャンプした時間は
ΔTB=2L/γβ-2L/γ^3β(1+β^2)

合計TB=2L/γβとなり
互いの経験した時間は一致する。

■まとめ

点Aから点Bを観測すると、時間が遅れて見える。
点Bが折り返し点につく前に、点Aは自身の折り返し点に到達する。
点Aが折り返しに到着し加速すると、点Bの時間は一瞬で進み折り返し地点まで行って戻って来る様に観測される。
最終的にAとBが経験した時間は同じになる。

点A　
折り返し地点まで、ΔTA=L/γβ　
折り返し地点から　ΔTA=L/γβ　
合計　TA=2L/γβ

点B
Aが折り返すまでΔTB=L/γ^3β(1+β^2)　
Aが折り返した瞬間ΔTB=2L/γβ-2L/γ^3β(1+β^2)　　
Aが折り返してからΔTB=L/γ^3β(1+β^2)　
合計　TB=2L/γβ

回答No.34

eatern27

#20です。

・#20へのお礼に関して
>２者の運動が対称形である限り、パラメータに拠らず必ず相殺することを、数学的に証明できるのでしょうか？　
とにかく計算結果がどの立場でも一緒になる事を確認すればいいのならできます。しかし平たく言えば計算結果が一緒になるように計算方法を決めるので、「証明」と呼ぶような対象ではないでしょうね。

>地球から見て粒子の時間の方が進行が遅く、粒子から見て地球の時間の方が進行が遅いというのは明らかに矛盾ですよね。
既に回答があるので理由は繰り返しませんが矛盾ではありません。ユークリッド幾何学で言えば
xy軸に対してある角度傾けたXY軸があった時、
x軸上の2点a,bのx(X)座標の差をΔx(ΔX)とするとΔx＞ΔXとなるのに対して、
X軸上の2点A,Bのx(X)座標の差をΔx(ΔX)とするとΔx＜ΔXとなる
前者のΔx>ΔXと後者のΔx<ΔXは両立しないので矛盾である。
というような事を主張されているようなものです。(ミンコフスキー幾何学とはｘ座標を考えるか時刻座標を考えるかが違うだけ)

>この例も、一般に特殊相対論の正しさを主張する文脈で説明されることが多い
現実の実験の条件では地上と航空機の標高に違いが存在し、この違いが無視できない影響をもたらすので重力の効果も考慮しているに過ぎません。遅れる・進むという定性的な結論だけなら特殊相対論で理解できます。また、東西回りの航空機の時刻の差だけに注目すれば、重力の影響は小さくなるのでそういう意味では特殊相対論の検証の１つに挙げても問題はないでしょう。

>例え「とても良い」ものだとしても、それがあくまで「近似」であるのだとすれば、
物理の理論(相対論)が「厳密に正しい」事を確認する事が不可能だから、「近似」と表現しただけで「相対論と"真の値"にはずれがある」と分かっている事を意図して書いたものではありません。(だからと言って「ずれがない」と言っている訳でもありません)

>「光速度不変」、あるいは条件付でそれに等しいといえる現象を近似解ないし局所的な系として導出するような理論が存在するはずです。
そのような理論を考えてもいいですが、それが相対論よりも自然を正しく記述している事はどうすれば確かめる事ができるのでしょうか？もしも今の我々にできないのならそのような理論を考える必要がないという事ですよね。(理論を考える事自体を否定しているのではなく、自然現象を説明するのに必要がないという趣旨です)

・#24さんへのお礼について
>「互いに相手の時間が遅れる効果は、加速によって互いに相手の時間が進む効果によって相殺される」ゆえに矛盾は生じない、という認識をお持ちの方もおられるようです。
もしもこの中に私が含まれているのであれば、
加速度系を考える時には一般相対論(と同等)の計算で考えた方が分かりやすいので、そうい計算を念頭に置いていた部分はありますが、特殊相対論では矛盾が解決できないという意味の回答はしていないという事を申し上げておきます。

・#30さんへのお礼について
>時間的に速度が変化していても、それはローレンツ変換の式のVの値が連続的に変わるだけであって、ある一瞬における異なる座標間の時間差は、等速直線運動をしている場合と同様に、その瞬間の速度と座標を式に代入することによって得られるのか、それとも、重力の影響で、例え一瞬でもローレンツ変換の式ではもはや表すことができなくなるのか

考えている物体が静止しているような慣性系を考える事をその「物体から見る」ような扱い方をすると、単純なローレンツ変換だけではなく平行移動(２次元以上なら回転も)考える必要が出てくるので結構複雑です。しかし、そういう事を適切に考えれば問題なく考える事は可能です。
イメージとしては
http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_transformation#Composition_of_two_boosts
の図のような感じだと思いますが、この図を見ても分かるように過去の出来事だと思っていたものが、未来の出来事に変わる事もあるので解釈は難しいです。

が、あえてこういう扱い方をするのなら、
Aの時計が時刻τ_Aを指した時に、Aが静止している慣性系で
・A自身の加速度がa
・Bはxの位置で速度vで運動している(Aの位置をx=0としています)
・Bの時計が時刻τ_Bを指している
とすると、Aの時計が時刻τ_A+dτ_Aを指した時にAが静止している慣性系でBの時計はτ_B+dτ_A(1+xa/c^2)√(1-v^2/c^2)を指しています(高次の項は無視しています)。つまり「Aから見る」と、Aの時計がdτだけ進む間にBの時計はdτ(1+xa/c^2)√(1-v^2/c^2)だけ進む事になります。Aの時計が有限の時間進んだ時の話をするのならこれを積分するだけです。

・・・と書くのは簡単なのですが、実際にここから求めようと思うと、x,a,vを求めるのが結構大変なので
>(1)「AB２者の思考実験」において、「両者が帰還した時点における、両者の時刻に関する見解が互いに一致する」ことを、計算で示してください。
これに関してはご自分でやって下さい。しかし冒頭にも書いたようにdτ(1+xa/c^2)√(1-v^2/c^2)は両者の見解が一致するように求めるものなので、一致しない訳がありません。

※一応、これ以外の計算もある事を強調しておきます。

(2)について
>tA＝tB＝０の瞬間における、Aから見たBまでの距離Dは、Bから見たAまでの距離に等しいから、
だからと言って、Bが速度-vで運動し始めた後から見た距離もDである事にはなりません。

運動し始めた後のB系で見ると、Aの時計が時刻0を指すのは、
時刻tB=-βvD/c^2の時で、この時Aの時計はBからβDの位置にいます。(単にローレンツ変換するだけです)
この系でAは速度ｖでBに近づきますからAの時計が時刻0を指してから、βD/vの時間でAとBが出会う事になります。従って、Bの系でAとBが出会う時刻(Bの時計の指す時刻)は、-βvD/c^2 + βD/v = √(1-v^2/c^2) D/v=D/(βv)となります。

>AとBが出会う瞬間、xA＝0、tA＝D/ｖより、　tB＝βD/ｖ
これではBの時計の指す数値の方が大きい(Bの時計が早く進む)事になりますが、そういう事を言いたいのでしょうか？tB＝D/(βv)の誤植と思っていいのなら、Bの系での計算と同じ結果である事が分かるでしょう。

※アインシュタインの表記を踏襲したのかもしれませんが、現代はβ=v/c,γ=1/√(1-β^2)という記号を使う方多いので、特に理由がなければ現代の慣習を使った方が良いと思いますよ。(不要な混乱を招く可能性を減らすため)

>いわゆる「西回りと東回り」の比較実験結果は、(中略)、東西に飛ぶ飛行機同士で時間を計ったらどうなるのか。
(弱い)重力ポテンシャルをΦとした時(簡単のため２次元とします)、
x=rcos(θ+ωt),y=rsin(θ+ωt)で「回転座標系」への座標変換を定義すると、世界距離は
ds^2=c^2(1+2Φ/c^2-(ωr/c)^2)dt^2 -2ωr^2dθdt - r^2dθ^2 - dr^2
と与えられます。

この回転座標系に静止している時計の時刻τ_Aと時刻座標tの間には
dτ_A=√(1+2Φ/c^2-(ωr/c)^2)dt
の関係があります。
また、回転座標系に対してr=Rの円弧上を速度v(=Rdθ/dt)で運動する物体の時計の指す時刻τ_Bと時刻座標tの間には、
dτ_B=√(1+2Φ/c^2-(ωR+v)^2/c^2)dt
の関係があります。物体がr=Rの円弧上を一周する(θ=0から2πまで移動する)のにかかる時間(時刻座標で測った時間)はT=2πR/|v|です。
ここでωを地球の自転の角速度と思えば回転座標系はまさに「地上の静止系」という事になり、vを物体(航空機)の対地速度と解釈すれば、

地上から見ると、
地上に静止した時計はT√(1+2Φ/c^2-(ωR/c)^2)を指し、
航空機の時計はT√(1+2Φ/c^2-(ωR+v)^2/c^2)を指す

という話になります。一方、ω'を航空機の角速度(＝ω+v/R)、v'を地上の航空機に対する速度(=-v)とすれば、

航空機から見ると、
地上に静止した時計はT√(1+2Φ/c^2-(ω'R-v)^2/c^2)を指し、
航空機の時計はT√(1+2Φ/c^2-(ω'R)^2/c^2)を指す

という話になり、どちらで考えても同一の結論である事が分かるでしょう。

便宜上、地上と航空機としましたが、東回りと西回りの航空機でも何も変わりません(地上を逆回りの航空機と読み替えるだけです)

>さらには、脱出速度で地球を周回し続ける航空機から見た場合、Gは無いわけですから、一般相対論的効果は生じず、
上の話でωを適切に選べば、世界距離の式の中でdt^2の係数を1にする事ができます(指定した位置に限りますが)。この部分だけを見れば確かに重力がなく回転していない座標系(普通の極座標系)と一緒になります。しかし、一般には空間全体でdt^2の係数を1にする事はできませんし、 -2ωr^2dθdtの項があるかどうかという違いもあるので、どうやっても極座標系と同一にはなりません。

ずいぶんと長くなってしまいましたm(_ _)m

回答No.33

s_hyama

回答へのお礼ありがとうございました。

時空に時間空間があって慣性運動が起きる、これがニュートン理論ですが、
そういう風には見ていません。
時空が元々持っている特性に、時間空間とスピードがあります。
その結果、空間力(速さの二乗)が必然的に生まれ、結果ユークリッド空間が現れます。
その時空をひゃまは光と呼んでいます。
ひゃまの光の空間力より

超新星事象を利用した宇宙と時空の物質-エネルギー密度の天文学的測定は、空間の曲率は0に近いことを示唆している。これは、時空の局所幾何は時空の間隔に基づいた相対性原理により導かれるが、近似的に有名なユークリッド幾何学による3空間から導くこともできる、ということを意味している。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E3%81%AE%E5%BD%A2

回答No.32

中村 拓男（@tknakamuri）

>地球から見て粒子の時間の方が進行が遅く、
>粒子から見て地球の時間の方が進行が遅いというのは明らかに
>矛盾ですよね。

うーん、この文章は明らかに古典的な「同時性」を使ってますね。
後戻りしてしまったようです。

地球と粒子の時計をどうやって比べるのか？　センサーの
結論からわかるように、比較方法を一つ選べば答えは
一つしか得られません。矛盾した結論が同時に得られることは
ないのです。「地球から見て」と「粒子から見て」を慎重に
定義してみてください。同じ測定ではないはずです。

お礼

tknakamuri さん、ご回答有難うございます。

＞比較方法を一つ選べば答えは一つしか得られません。矛盾した結論が同時に得られることはないのです。

「明らかに矛盾だ」と私が言ったのは、式による計算の結果（だけ）ではなく、「現実に起こる」場合を念頭に置いてのことでした。

例えば、「航空機の時間の遅れ」の例では、一方から見た遅れを指摘しているだけで、航空機から見た地表の時間の遅れについては触れられていません。逆の立場で地表の時間を計ったらどうなるのか。

いわゆる「西回りと東回り」の比較実験結果は、明らかに特殊相対論的効果の「証明」なわけですが、東西に飛ぶ飛行機同士で時間を計ったらどうなるのか。

さらには、脱出速度で地球を周回し続ける航空機から見た場合、Gは無いわけですから、一般相対論的効果は生じず、上記の実験で「証明」済みの相対運動による時間の遅れだけが残ります。たとえ脱出速度程度でも、時間差が例えば一日になるまで飛び続けることは可能で、帰還した時の両者の見解に矛盾が生じることになるはずです。この場合、減速・着陸時程度のGの影響は無視できますから。

これらの議論は、「粒子の時間の遅れ」と同一線上にあると私は思うのですが？

ありがとうございました。

補足

すみません、お礼欄の内容について訂正です。Gが無ければ地上と同じ条件にならないですね。

しかし、互いに反対方向に脱出速度で飛ぶ航空機同士などではどうなるでしょうか。Gの効果は加速・減速時だけですから、一定の微々たる量です。それに対し、特殊相対論的効果によって蓄積される時間差はいくらでも大きくすることができます。

（時間差は生じない、と言われる場合、もしお応えいただけるなら、定性的議論よりも、過程は概略だけでも結構ですから、数値的根拠をお示し願います。）

回答No.31

中村 拓男（@tknakamuri）

>また、加速度を含む時空を扱う場合は、やはり一般相対性理論を
>学ぶことをお勧めします。

私の発言が独り歩きしているようですが、
慣性系で加速度運動する点の固有時間を求めるのに一般相対性理論
は不要です。
加速度系に身を置くと時空がどうみえるのか、という話になると
一般相対論が必要になってきます。
＃どこからが一般相対論という不毛な議論もありますが(^^;

双子のパラドックスの場合、加速度運動する側から見た
時空も示すのがもっともストレートな方法だと考えたのですが
無用に混乱させてしまったかもしれません。

お礼

tknakamuri さん、再度のご回答有難うございます。

すみません、「パラドクスを説明するには一般相対論が必要だ」と言いながら、「一般相対論に踏み込まなくても良い」と一見矛盾したことを書いてしまいましたが、

「完全に相互対称な条件で運動する２者のパラドクス」を解くのに一般相対論が必要なのであれば、それをも含めた数値計算の結果だけを示していただければ、私としてはそれでよい

というのが本意でした。
しかし、tknakamuri さんのご発言から、「もっともストレートな方法」に限定しなければ一般相対論に拠らずとも説明ができる、という印象を受けたのですが、実際にはどうなのでしょう？

ありがとうございました。