数学的帰納法について

質問

数学的帰納法の例題の答えを読んでいると、しばしば
漸化式において
ｎ=kのとき成り立つと仮定して
ｎ=k+1のときを考えることで、与えられた漸化式より解いていくようになっている思うのですが、
この日本語の書き方を見る限り、ｎ=k+1としたときは、例題の答えのように与えられた漸化式の左辺はaのk+1にはならず、aのk+2になってはしまいませんか？

わかりにくい文章で、申し訳ありません。
理解できなければ御指摘ください。
よろしくお願いします

回答No.5

springside · ベストアンサー

No.4の者です。
こういうふうに書いた方が判り易いかな。

---------------証明（敢えて丁寧に書きます）----------
(1)n=1のときa(1)=1だから成り立つ。

(2)n=kのとき成り立つと仮定する。つまり、a(k)=kと仮定する。

今、n=k+1のときを考えたいので、a(k+1)がどうなるかを知りたい。
そこで問題の与式を見ると、a(n+1)=a(n)+1と書いてあるので、
その式のnをkに置き換えると、
　a(k+1)=a(k)+1
ということがわかる。
つまり、a(k+1)=a(k)+1であって、いま、a(k)=kと仮定している
のだから、上式の右辺は、a(k)をkで置き換えることにより、
　　　　 k+1
となり、結局a(k+1)=k+1となっているから、n=k+1のときも成り立つ
ということが判った。
よって、数学的帰納法により、証明された。
--------------------------------------------------

補足

なんとなくわかったような気もします。
ということはｎ＝k+1を表すためにすることは、ｎ＝k+1を直接与式に代入するわけてはなく、ｎ＝kとおいた結果、ｎ＝k+1となることを利用するということなんですか？

回答No.4

springside

>>与えられた漸化式の左辺はaのk+1にはならず、aのk+2になってはしまいませんか？
具体的にどういう場合を想定していますか？

例えば以下の問題を考えてみましょう。
　a(n+1)=a(n)+1, a(1)=1のとき、a(n)=nを証明せよ。

---------------証明（敢えて丁寧に書きます）----------
(1)n=1のときa(1)=1だから成り立つ。
(2)n=kのとき成り立つと仮定する。つまり、a(k)=kと仮定する。
n=k+1のとき、与式より、
　a(k+1)=a(k)+1
である。いま、a(k)=kと仮定しているのだから、上式の右辺は、
　　　　 k+1
となり、a(k+1)=k+1となっているから、n=k+1のときも成り立つ。
よって、数学的帰納法により、証明された。
--------------------------------------------------
以上のどこにもk+2は出てきませんが。

回答No.3

alice_44

漸化式 a[n+1] = f( a[n] ) の解が a[n] = g( n ) であることを推測し、
それを数学的帰納法で証明する話を、しているのですよね？

n = k のとき a[n] = g ( n ) が成り立つと仮定して、
これを漸化式に代入すると、a[k+1] = f( g( k ) ) になります。
f( g( k ) ) = g( k+1 ) であることを示せば、証明が終わります。

代入した式の左辺は a[k+1] で、k+2 になってはいないように見えますが？

証明するのは a[n] = g( n ) のほうの式で、
a[n+1] = f( a[n] ) を示す訳ではない ような気がします。
貴方の「数学的帰納法の例題」は、具体的にどんな問題なんでしょうか。

回答No.2

DJ-Potato

数学的帰納法は
(1)　n=1のとき成り立つ　ことを証明
(2)　n=kのとき成り立つならば、n=k+1のとき成り立つ　ことを証明
よって、すべての自然数ｎについて成り立つ
という論法です。

n=1は成り立つ　・・・(1)より
よって、n=2は成り立つ　・・・(2)より
よって、n=3は成り立つ　・・・(2)より
よって、n=4は成り立つ　・・・(2)より
よって、n=5は成り立つ　・・・(2)より
：
：
という論法です。

n=k+1のとき、n=k+2が成立するなら、
n=kのとき、n=k+1も成立しているでしょう。
n=k+2のとき、n=k+3も成立しているでしょう。

わかりますか？

回答No.1

takoyakisan

（ｋ＋１）を別の文字に置き換えて考えてみてはいかがでしょうか。

不自然なところはないと思いますが…

補足

k+1の1と与えられた漸化式の左辺のaのn+1の1は全く別物と言うことですか？