【高校数学】最小化問題の解き方

質問

何問か問題があり、そのうち2つが解けませんでした。
それぞれ、minimize以下の部分（問2なら3x+2y+zの部分）を最小化する値が知りたいです。
ただし条件が付いていて、各変数は条件を満たすように変化します。

問１
minimize x^2+y+4
条件
-x^2- (y + 4)^2 + 16 ≥ 0
x - y - 6 ≥ 0

問２
minimize 3x+ 2y+z
条件
2x+3y+z= 30
x ≥ 0
y ≥ 0
z ≥ 0

答えだけなら得られるのですが、高校数学の範囲で答えの導出方法が知りたいです。
どうかご教示のほど、よろしくお願いします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

いずれも座標に持ち込んで勝負する問題。(2)は完全な線形計画の問題だが、問題の程度としては、基本の部類。

(2)
zを消去して z≧0　に代入すると　x≧0、y≧0、2x＋3y≦30　これをxy平面上に図示すると、3点(0、0)、(15、0)、0、10)を頂点とする3角形の内部と周上。
3x+ 2y+z＝k とすると、y＝x＋(k-30)　。これは傾きが1の直線だから、y切片＝k-30　の最小値を求める。
y＝x＋(k-30)を傾きを保ちながら、上下に移動すると、最小値は　点(15、0)を通るとき。

(1)
これも同じ考え方で解ける。

-x^2- (y + 4)^2 + 16 ≥ 00　を　xy平面上に図示すると点(0、-4)を中心とする円の内部で、x - y - 6 ≥ 0　の部分。k＝x^2+y+4　とすると、y＝-x^2＋(k-4)だから、これは軸がy軸にある上に凸の放物線。
(1)と同じような考えで、放物線を動かすと、放物線と円が点(-8、0)で接するときに最小。

お礼

理解できました。
本当にありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

書き込みミス。

(誤)　(1)と同じような考えで、放物線を動かすと、放物線と円が点(-8、0)で接するときに最小。

(正)　(1)と同じような考えで、放物線を動かすと、放物線と円が点(0、-8)で接するときに最小。