文章問題に。。。

質問

わかりません、なにとぞ、おたすけください・・・。

変数x,yの間に、x+y^2=4という関係があるとき、次の問いに答えよ。

(1)xのとりうる範囲を求めよ。

(2)x^2+y^2-11xの最小値と、そのときのx、yの値を求めよ。

なお、回答は
(1)　x<４　　　
(2)x-4,y-0のとき、最小値：ー２８
とあります。

どのようにして、xの範囲がでるのでしょうか、教えてください。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> どのようにして、xの範囲がでるのでしょうか、教えてください。

x+y^2=4という関係式から出ます。この関係式を眺めて、
xを大きくするにはどうしたら良いか、逆にxを小さくするにはどうしたらよいかを
考えてみたり検証してみましょう。

y^2は0以上の値しかとれません。
なのでx + y^2 = 4を満たすxは最大でも4になるはずですよね。
xが4より大きくなってしまうと、x + y^2 = 4は

4より大きい数 + 0以上の数 = 4

というあり得ない式になってしまいます。
なのでxは最大でも4です。

逆にxをどんどん小さくしていっても、y^2をその分大きくすれば
x + y^2 = 4を満たす事は可能です。
ここからxに最小値が無い事が分かります。

以上からx ≦ 4となります。

他の解法としては、x+y^2=4を式変形してx = -y^2 + 4として考える方法があります。
x = -y^2 + 4の右辺の最大値・最小値を考えれば
(この部分は二次関数の最大・最小の求め方と同じです)、
xが4以下であることが分かります。

お礼

式変形してみれば、見た目にも分かりやすい感じがします。

適切な説明をしていただけたことから、自分の勉強になにがたりなかったか実感できます、ほんとうにありがとうございました☆彡

回答No.3

longsu

#2です。
F(x)=x^2－12x+4x≦4
は、４とxを離して読んでください。ほかのエディタでｔａｂで飛ばしていたのですが、回答送信の際、tabが落ちてしまったようです。
正しくは
F(x)=x^2－12x+4　　　　　x≦4

お礼

（１）は式変形して上に凸、Y軸方向に＋４のグラフを描くことで、頂点４が最大値、最小値がないことから、X<4となりました＾＾
いまkら（２）を勉強してきます☆彡ありがとうございました。

回答No.2

longsu

もしちんぷんかんぷんということでしたら、この問題では扱っているのが二次曲線なので、絵に描いてみることをお勧めします。

x+y^2=4

というのは見慣れない式かもしれませんが、ｘとｙを入れ替えてやると

y=4－x^2

というどこかで見たことのあるような式になります。これは頂点（0,4）の上に凸の放物線です。
そんなことは言われんでもわかっとるわい、解答の仕方がわからんのじゃ、という段階でしたら、＃１さんのアドバイスで十分できるかと思います。

（２）は、シンプルにはy^2を消去してxの二次関数にして、後はxの範囲に縛りがあるのでそれを考慮して最小値を求めるという方法があります。

F(x)=x^2－12x+4 x≦4

（１）の答えは等号が入るはずです。もし不等号のみでしたら（２）の答えと矛盾してしまいます。

ここから先は円の方程式を履修されていないようでしたら無視してください。
この最小値を求めよといっている式は、=aとおいてやると

(x－11/2)^2+y2=a+(11/2)^2　　　(=r^2)

となり、aの値によりけりですが、（11/2,0）を中心とする円になります。11/2は4より大きいので、放物線の頂点の先に円の中心があることになります。半径はaの値によって変わります。aを小さくすると右辺r^2が小さくなっていきます。どこまで小さくできるか、当然放物線の頂点で接するときが最小の円です（頂点も円の中心もx軸上）。
このように視覚的に問題を捉える習慣をつけておくと作戦も立てやすいかと思います。

お礼

y=4－x^2

勉強不足だったのですが、二次関数のグラフに変形したことで、ｙの頂点を4として下に凸のグラフをかいて、最小値が底なしとなりました、よって最大値は4とわかりました＾＾
この変形なら私でも理解できてうれしかったです。まだまだがんばります＾＾ありがとうございました。