【数学】a>0,b>0のときの不等式の証明。

質問

a>0,b>0のとき

(a+b){(1/a)+(1/b)}≧4

の証明，また等号が成り立つときを調べてください。

解法はいくつかあると思います。
さまざまな解き方を知りたいので
よろしくお願いします。

回答No.9

alice_44

いろいろやると、楽しいやね。もう一個。
与式は、1/[{(1/a)+(1/b)}/2]≦(a+b)/2 と変形でき、
調和平均≦相加平均 に帰着される。
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/html/mean.html

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87
↑に見られる「一般化平均」において、
f が凸関数であれば、f-平均≦相加平均 である。
相乗平均≦相加平均 は -log(x) が凸関数であることに、
調和平均≦相加平均 は 1/x が凸関数であることに従う。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/jensen.htm

回答No.8

mister_moonlight

これは、aとbの対称式(＝入れ替えても、結果が同じになる式)だから、次の解が考えられる。

a＋b＝x、ab＝yとすると、xとyは　t＾2-xt＋y＝0の2つの正の実数解。
よって、判別式＝x＾2-4y≧0、x＞0、y＞0　‥‥(1)
Ｐ＝(a+b){(1/a)+(1/b)}＝(a+b)＾2/(ab)＝x＾2/y≧4　を示すと良い。
y＞0　から分母を払うと、x＾2≧4y　を示す事になるが、それは(1)から自明。

他にも解法はいくつかあるが、この程度で良いだろう。
一つの問題を、王手搦手から攻めてみようという君の勉強方法は　(多分、それは意識してないでやってるんだろうが)、非常に良い。
今後は、それを意識してやれば、知らず知らずのうちに“思考力と柔軟性”が生まれてくる。

又、先ほどの“シュワルツの不等式”と共に、対称式の場合の解法(＝これは　定石といっても良い)は必ず憶えておく事。
基本を理解しておく事、又、そこから君が無意識にやってる方法を拡張して行けば“発展”が生まれる。

回答No.7

alice_44

さまざまな解き方ねえ…
(a, b) = (r cos t, r sin t), r＞0
で置換すると、0＜t＜π/2 であって、
f(a,b) = 2(1 + 1/sin(2t)) となる。
これより、左辺の最小値は 2t = π/2 のとき
と判って、与式が従う。

回答No.6

mister_moonlight

書き込みミス。。。。。。ｗ

(誤)　シュワルツの不等式から、(α＋β)*(1/α＋1/β)≧(1＋1)＾2　等号成立は？

(正)　シュワルツの不等式から、(α＾2＋β＾2)*(1/α＾2＋1/β＾2)≧(1＋1)＾2　等号成立は？

回答No.5

mister_moonlight

馬鹿の一つ覚え、じゃないんだからもう少し頭を使えよ、回答者君よ。。。。。ｗ
この問題自体は、相加平均・相乗平均を使うのが一般的だろうが、“さまざまな解き方を知りたいので”という質問者の要望に答えてやれよ。

簡単のために、a＞0、b＞0から　√a＝α、√b＝β　と置く。
シュワルツの不等式から、(α＋β)*(1/α＋1/β)≧(1＋1)＾2　等号成立は？

文字は全て、実数とする。シュワルツの不等式とは
(m＾2+n＾2)*(x＾2+y＾2)≧(mx+ny)＾2　等号成立は、nx＝my の時。
上の問題で、m＝√a、n＝√b、x＝1/√a、y＝1/√b　としただけ。

シュワルツの不等式は、近年入試では常識になってるから、絶対に知っておかなければならない。
シュワルツの不等式を詳しく知りたいなら、“シュワルツの不等式”で検索すると、たくさん出てくる。

回答No.4

rnakamra

a+b,1/a+1/bに対してそのまま(相加平均)≧(相乗平均)の関係を用いると
a+b≧2√(ab)>0 (等号成立：a=b)
1/a+1/b≧2√(1/(ab))>0 (等号成立：a=b)
辺々を掛け合わせると
(a+b)(1/a+1/b)≧2√(ab)*2√(1/(ab))=4 (等号成立：a=b)

回答No.3

remonpakira

a>0,b>0のとき

この条件を見ると相加相乗平均で解こうと考えるのが自然でしょう。
式もそれっぽいですし。

左辺を展開すると2＋b/a＋a/b

ここでb/a＋a/bは相加相乗平均より≧2

従って
(a+b){(1/a)+(1/b)}≧4

等号成立はb/a=a/bの時だからb＾2=a＾2
よりa=bの時

回答No.2

gohtraw

(a+b)^2>=4ab が成り立てばいいので左辺から右辺を引くと
ａ＾２－２ａｂ＋ｂ＾２＝（ａ－ｂ）＾２
と二乗の形になるのでｓの値はゼロ以上になります。等号成立はａ＝ｂのときです。

回答No.1

gohtraw

1/a+1/b=(a+b)/ab
なので、与式の左辺は
(a+b)^2/ab
です。相加相乗平均の関係より
(a+b)/2>=√（ab)
両辺を二乗して
(a+b)^2/4>=ab
(a+b)^2/ab>=4
等号成立は相加平均＝相乗平均のとき、すなわちａ＝ｂのときです。