大学受験 数学

質問

僕は今浪人しています。数学はそんな苦手ではないと思うのですが、予備校の先生に「表面的な理解ではいけない、公式や定理は証明できるのか!?」なんてことを言われたのですが僕はどんな大学でも(僕は文系です)公式や定理を使いこなせ様々な問題にあたっていけば合格できると思ってます。それが受験数学だと思っています。しかし正直まだ難関大の問題なんかをちゃんと見ていないので僕のやり方で解けるようになるのか心配です。
数学や受験に詳しい方の意見が聞きたいです。よろしくお願いします。

回答No.4

potatorooms · ベストアンサー

浪人生に勧められるか分かりませんが、二冊だけ、受験に関係がない本を勧めてみます。
零の発見
ろうそくの科学 同名書が多いですが、ファラデーのものです。

多分、受験には役立ちませんが、考え方の幅を広げてくれます。

受験勉強へのアドバイスは、解法を知らない問題も解けるくらい考えるくせをつけることです。
世の脳科学者さんは、ヒラメキなんて言葉で、予備校の講師さんはセンスなんて言葉で片付けますが、私は嘘だと思っています。考えつくのは、技術のひとつで、経験と慣れだと思います。
幼い時から疑問があった時に、人に聞かずに自分で考え抜いて考えつく流儀の志向の人と、手っ取り早く答え聞いて好奇心を満足させてきた人との差。
公式を覚えるのも、参考書を読むのもアリで、問題集の解法を見ないで、数日かけてもいいから、応用問題を自力で解く訓練をすることです。受験用の数学の問題集に、文系数学と、そうでない数学がありますよね。文系数学には、この部分がないことが多いです。数学の問題集に、解答とは別に、答えだけのページや小冊子があるものがあると思いますが
この学習法を前提にしているからです。

お礼

捕捉にも答えて下さり本当にありがとうございます。
今回は一応の勉強方針が決まったということで締め切りました。

おっしゃってくださったようにしばらくやってみようと思います。

しかしまた必ずいたらぬところがあり質問しにくると思います。偏差値があがらない…時間内に終わらない…などなど…。
その時はどうかまたお知恵を貸してください。

今回は本当にありがとうございました。

回答No.3

Rice-Etude

No.1です。

No.2の方の回答が的確だと思いますが、恥を忍んでもう一度回答を書かせていただきます。

先の例題としてあげた加法定理の証明は、私の時代なら高校の教科書に普通に載っていて、文理関係なくみんな習っていたものだったんです。それを（おそらく教科書とかには載っていても）授業でやらずに公式を暗記だけさせて、それを用いた計算問題ばかりを訓練する高校が増えたので、逆説的に出題したという意図だと思っています。

＃作図（グラフ）が書ければ、（１）を誘導に加法定理が証明できます。

ところで、公式を丸暗記して使いこなすタイプの人の弱点は、数学のつながりが理解できず、多面的に見えなくなってしまう（その結果、一つの道筋で解くことができなかった時に、他の道筋をたどってみることができなくなる）ということがあると思います。

例えば数学のカテゴリーのところで二次方程式や二次不等式に関する問題が解けないという質問をよく見かけますが、私から言わせると「y=(二次式)とおいて座標系で考えれば解ける問題もあるのに、なんでまずはグラフで考えてみないんだろう？」って思うわけなのです。それとか行列式から点の座標の変換、あるいは行列式から連立方程式といった相互の関係とか、数学は多面的なアプローチから同じ結論を出せるものだったりします。

あるいは証明問題の時、これは素直に証明するのがいいのか、帰納法を使う方がいいのか、背理法を使う方がいいのか、その判断をつけるにはやはりこれらの手法がどういう特徴を持つのかを理解していないと、なかなか使いこなせなかったりします。

そうは言っても、来年の1月には入試が始まるという時間的制約があるというのもあり、難しいところだというのも理解できます。

なので、現実問題としてまずは予備校の授業で使用している問題集、あるいはその程度に合わせた参考書を使って演習問題を解くということをしつつ、もし余裕が取れるようでしたら別に分厚い難しそうな数学の本なんかでなくて良いので、高校の教科書をもう一度読んでみるのはいかがでしょうか？教科書は確かに難しい問題を解くための訓練はしてくれませんが、定理や公式を含めてその分野の意味についてはある程度はちゃんと書いてあると思います。

高校時代3年間、総合成績がずっと下から10番以内にいながら、数学の教科書だけは何度も読み直しそこそこの点が取れていた結果として、数学者モドキ的な仕事をしていますので、一応私が経験したものをおすすめさせていただきました。

受験が無事に成功することをお祈りしています。

お礼

捕捉にも答えて下さり本当にありがとうございます。
そういえば講師が(何でもっと簡単な解き方があるのにわざわざめんどくさい方法を使うんだろう)ってな方法で解いて僕はここを聞き流してノートにも書きませんでした。
僕がバカでした(笑)回答者さんがおっしゃってくださたったことに従うとこのへんからやってみたらってことですよね。

今回一応の勉強方針が決まったということで締め切りましたがベストアンサーをつけられず本当に申し訳ありません。また必ずわからないところや迷った時質問しにくるでしょうがその時はまたどうかよろしくお願いします。

回答No.2

potatorooms

数学だけでなく、理系教科全般での話として、東大や、理系の旧帝国大の学部では、知識の運用だけでの合格は大変ですよ。私大は、知識と運用が中心になります。

数学は、まだ、予備校の講師がそういう教え方をしますが、理科は運用中心の講師も多いので、旧帝大受験の落とし穴のひとつですよね。特に数学と違って、「実験」という概念もありますからね。
昔、よく、センター試験の出題に噛みつく予備校がありますが、「教科書」での紙上でしか起きない現象を、実験で把握している出題者が、矛盾させてしまって、いじめられるんですね。実際に目の前で起こる事実よりも、紙に書かれたモノの方が、大事なようです。最近は、センター試験の問題は事前に、予備校にチェックを依頼しているという噂があるくらい。

ただ、旧帝大の２次試験は、そんなことはあまり気にせずに、学問として正しいことを出題するので、「なぜ」を理解しないで、知識と運用で解答をすると、落とし穴にはまるような出題を意図しているケースもあります。そういうことを「わかっている」学生が欲しい、という意思表示ですね。
落とし穴にはまる、ということは、満点が取れないということで、その中で合格点に届かせるための完成度が必要、ということです。
そういう大学は、赤本や問題集の解答通りでも満点にならないケースが多々あります。

志望校の過去問を早めに確認をした方が良い、というのは、そういう意味ですね。けっして、「解けるようにしよう」という意味ではないです。出題者がどういう学生を求めているかを把握してから受験勉強を始めようということ。
ご自身の志望校が決まったら、確認されると良いですよ。

補足

回答ありがとうございます。
かなり鋭い角度から見たような意見だと思いました!!これはベストアンサー迷うなぁ…
確かに僕は運用はそこそこできたかもしれないですが仰る通り落とし穴にはまってしまうところでした。予備校講師と回答者さんに本当に感謝します。

そこでもう一つお願いがあるのですが…

これから僕は数学に関してどのような勉強をしていったらよいのでしょうか??分厚い「数学の成り立ち」みたいな本を読んでもなんのこっちゃです。

どうか、もしかするとこいつが将来日本を背負うやつになるかもしれないと思ってお知恵を貸して下さい。本当に待ってます。

回答No.1

Rice-Etude

受験をクリアするという目的の中で、すべての定理や公式を証明する必要があるかと言われれば、それはちょっと大げさかなと思います。

ただし「公式や定理を使いこなせ様々な問題にあたっていけば合格できる」という考えだけでいるのも危険な気がします。

例えば
「(１) 一般角θに対してsinθ, cosθの定義を述べよ。
　(２) (１)で述べた定義にもとづき、一般角α，βに対して、
　　　sin(α+β)=sinα・cosβ + cosα・sinβ,
　　　cos(α+β)=cosα・cosβ - sinα・sinβ
　　　を証明せよ。」
なんて問題が出たらどうしますか？sin，cosの加法定理を憶えているだけでは解くことはできません。

＃ちなみにこれは1999年に東大の入試で実際に出題されたものです。

これは特殊な例ですが、定理・公式を使いこなす上でも何で成り立つかを知っていれば、どこでこれを使えば良いかをより適切に判断できるようになります。その意味でも、できれば一度は自分で手を動かして、なんでこの公式や定理が成り立つのかを見ておいた方が良いと思います。

補足

回答ありがとうございます。
確かに僕は今その問題を出されたら太刀打ちできません。
しかし実際のところどの定理や公式の証明をしたらよいのかわかりませんし、書いてある参考書も知りません。証明すべき範囲がわかったとしていちいち証明してる時間はあるのか。有名な問題や過去問をやったほうがよいのではないか。なんていう心配や不安もあります。
その辺はどうしたらよいのでしょうか??
また確かその年の問題は大門一つ完当での合格者が続出した年だったと思うのですが東大合格者でもやはりなかなか定理公式の成り立ちみたいなものはよく理解してないんじゃないかなぁなんて思います。もちろん僕だってできないよりできたほうがいいに決まってると思います。しかし現実時間を考えてると…悩んでしまいます。
どうかもう少しアドバイスをいただけたらなと思います。どうかよろしくお願いします。