高校数学I 展開 応用

質問

以下の問題の解き方を教えてください。

１．（a＾6+a^3b^3+b^6）（a^2+ab+b^2）（a-b）
２．（a-b）^3（a+b）^3（a^2+b^2）^3
３．（x+y+2z）^3-（y+2z-x）^3-（2z+x-y）^3-（x+y-2z）^3

答え
１．a^9-b^9
２．a^12-3a^8b^4+3a^4b^8-b^12
３．48xyz

この問題たちは、
ひたすら展開すると時間がかかります。
どこをどう工夫したらいいのか教えてください。できるだけ詳しく。
あとは自力で解きます。

問題をネットで探してたら、展開の応用問題として載ってました。
答えだけで解説がなくて困っています・・・。

だれかお願いします！！

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

1
公式：(A-B)(A^2+AB+B^2)=(A^3-B^3)
を２回使うだけ。
最初は後の２項について使う　a->A,b->Bとおく。
（a^2+ab+b^2)(a-b）=A^3-B^3=(a^3-b^3)

２回目
（a＾6+a^3b^3+b^6）(a^3-b^3)=(A^2+AB+B^2)(A-B)
a^3->A,b^3->Bとおく。
=A^3-B^3=a^9-b^9

2
公式：(A-B)(A+B)=A^2-B^2
を2回使うだけ。
最初は前の２項について使う　a->A,b->Bとおく。
（a-b）^3（a+b）^3={(A-B)(A+B)}^3=(A^2-B^2)^3=(a^2-b^2)^3

2回目
a^2->A, b^2->Bとおく。
(a^2-b^2)^3(（a^2+b^2）^3={(A-B)(A+B)}^3=(A^2-B^2)^3

公式：(C-D)^3=C^3-3C^2*D+3CD^2+D^3
で C->A^2=a^4, D->B^2=b^4 と置けばよい。
(A^2-B^2)^3=C^3-3C^2*D+3CD^2+D^3=a^12-3a^8b^4+3a^4b^8-b^12

3
I=（x+y+2z）^3-（y+2z-x）^3-（2z+x-y）^3-（x+y-2z）^3=I1-I2
公式：A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2),A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)を使って
I1=(x+y+2z)^3-（y+2z-x)^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)
A-B=(x+y+2z)-(y+2z-x)=2x
A^2+AB+B^2=(A-B)^2+3AB=4x^2+3{(y+2z)^2-x^2}=x^2+3(y+2z)^2
I1=2x^3+6x(y+2z)^2

I2=(2z+x-y)^3+(x+y-2z)^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)
A+B=(2z+x-y)+(x+y-2z)=2x
A^2-AB+B^2=(A+B)^2-3AB=4x^2-3{x^2-(y-2z)^2}=x^2+3(y-2z)^2
I2=2x^3+6x(y-2z)^2

∴I=I1-I2=6x{(y+2z)^2-(y-2z)^2}=6x(8yz)=48xyz

回答No.4

tomokoich

３番
(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3-[(2z+x-y)^3+(x+y-2z)^3]にして
(x+y+2z)^3-(y+2z-x)^3の部分
y+2z=Aとおいて
(A+x)^3-(A-x)^3
=[(A+x)-(A-x)][(A+x)^2+(A^2-x^2)+(A-x)^2]
=2x(A^2+2Ax+x^2+A^2-x^2+(A^2-2Ax+x^2)]
=2x(3A^2+x^2)
=6xA^2+2x^3
同じように
(2z+x-y)^3+(x+y-2z)^3の部分
(x+2z-y)^3+(x-(2z-y))^3で
2z-y=Bとおいてやると
(x+B)^3+(x-B)^3になるので計算すると
=6xB^2+2x^3になります

よって
6xA^2+2x^3-(6xB^2+2x^3)
=6x(A+B)(A-B)
ここで
A+B=y+2z+2z-y=4z
A-B=y+2z-(2z-y)=2y
よって
6x×4z×2y=48xyz

お礼

詳しく説明していただき、
ありがとうございました！！

回答No.3

noname#131498

例えば、1の問題だと、公式どおり

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

の応用で、

(a^6+a^3b^3+b^6)(a^3-b^3)

=a^9-b^9

お礼

分かりました！
その公式の応用だったのに、
気づきませんでした（汗）

ありがとうございます！！

回答No.2

tomokoich

１番
(a-b)(a^2+ab+b^2)の部分
これは因数分解の基本公式(a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2)からもろに
a^3-b^3になります
さらに
(a^3-b^3)(a^6+a^3b^3+b^6)になったら
同じ公式を使います
aがa^3になっているだけなので・・

お礼

ありがとうございます！！

回答No.1

tomokoich

例えば２番なんですが
(a-b)^3(a+b)^3(a^2+b^2)^3
だと
[(a-b)(a+b)]^3(a^2+b^2)^3
にして
(a^2-b^2)^3(a^2+b^2)^3
にします。さらに
[(a^2-b^2)(a^2+b^2)]^3
にすると
(a^4-b^4)^3
となるのであとは３乗の展開公式を使えばいいと思います

お礼

分かりやすい説明、
ありがとうございました！！