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不等式||||x+a|-b|+a|-b|≦1
xに関する不等式 ||||x+a|-b|+a|-b|≦1 が -1≦x≦1で常に成り立つとき,点 (a,b) の存在する範囲は添付図のようになるのですが, どのようにして導くのでしょうか?
- gadataharaua
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回答1の「左辺が最大になるのは、|||x+a|-b|+a|が最小になる時」は、とんでもない勘違いっすね。 一応、a≧0、b≧0の場合だけ訂正しときます↓ 不等式の左辺をf(x)と置くと、この場合、 f(x)=|||x+a|-b|+a-b|。 fは(定義域を無視すると)-a≦0に関して対称(f(t+a)=f(t-a))だから、x≧-aだけ考えれば十分。 (1) f(x)=||x+a-b|+a-b| (x≧-a)。 a>bの場合: f(1)=1+a-b+a-b=1+2(a-b)>1で、不等式は成り立たない。 a≦bの場合: (1)のf(x)が最大になるのは、|x+a-b|=|x-(b-a)|が最大か最小のとき。 これが可能なのはx=-a、b-a、1のどれか。 x=-aはa≦1の時のみ可能で、f(-a)=a≦1。 x=b-aはb-a≦1の時のみ可能で、f(b-a)=b-a≦1。 また、もし1-(b-a)≧0なら、 f(1)=||1-(b-a)|-(b-a)|≦(1-(b-a))+(b-a)=1。 もし1-(b-a)<0なら、 f(1)=||1-(b-a)|-(b-a)|=|((b-a)-1)-(b-a)|=1。 というわけで不等式は成り立つ。 その他の場合も、絶対値記号をできるだけ減らし、左辺を最大にしそうなxの候補を当たれば、何とかなります。 一番大変そうなのはa≦0、b≧0の場合。 この場合、fは-a≧0に関して対称だから、x≦-aだけ考えれば十分。 x≦-aではf(x)=|||x+a+b|+a|-b|であることが分かると、少し気が楽に。
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- info22_
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aを a<=-1,-1<a<0,a>=0 で場合分けして、-1≦x≦1で不等式が常に成り立つようなbの範囲を求めればよい。 実際に求めると a<=-1の場合 0<=b<=-a -1<a<0の場合 0<=b<=1 a>=0の場合 b>=a と求まります。 これらを満たすa,bの範囲を(a,b)の存在領域として図示すれば添付図のようになります。
お礼
ありがとうございます。 場合わけをして、左辺のグラフを頑張って書いていけばいいのですね。
添付図は? かなり地道だけど方法を一つ。 a、bの符号で場合分けして、左辺の最大値が1以下になる条件を求める。 例としてa≧0、b≧0の場合。 左辺が最大になるのは、|||x+a|-b|+a|が最小になる時。 |||x+a|-b|+a|が最小になるのは、||x+a|-b|が最小になる時。 ||x+a|-b|が最小になるのは、 (1) |b-a|≦1で、x=b-aの時、最小値0 (2) |b-a|>1で、x=1の時、最小値|1+a-b| のどっちか((2)は|x+a|のグラフを描くと分かりやすい)。 (1)の場合、不等式の左辺は|a-b|なので、成り立つ。 (2)の場合、 (2-1) a≦bで、|1+a-b|=(b-a)-1 (2-2) a>bで、|1+a-b|=1+a-b のどっちか。 (2-1)の場合、左辺は1なので、成り立つ。 (2-2)の場合、左辺は1+2(a-b)>1なので、成り立たない。
お礼
ありがとうございます。 a,bがそれぞれ正か負で場合分けし、さらの絶対値の中身の最大や最小を考えて、絶対値をはずしていくのですね。
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お礼
ありがとうございます。 |x+a-b|=|x-(b-a)|が最大か最小のとき、これが可能なのはx=-a、b-a、1のどれか。 と考えていくのは、すばらしいと思いました。