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数3の問題で質問です!
画像の積分計算わかるひといませんか?? 答えはわかるのですが 計算過程がわかりません!! どなたか教えてください!! ちなみに答えは π/54(1ーe-2/3乗)です!! よろしくお願いします!!!
- keikeikyan
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俺の解答だと、答えが-になってしまったようなんだが、以下のようにすればいけるんじゃないかな。 -18x^3 = t とおく。 dt/dx = -54 x^2 x 0→1/3 t 0→-2/3 すると x^2*e^(-18x^3)dx = -1/54 e^t dt となるので、tの範囲で積分すると求められると思われる。 置換積分で、dxと一緒にxの項も消してしまえるって奴ですね。
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- info22_
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{e^(-18x^3)}'=(-18x^3)'*{e^(-18x^3)}=-54(x^2)e^(-18x^3) なので ∫(x^2)e^(-18x^3)dx=-(1/54)e^(-18x^3)+C したがって I=π∫[0,1/3] x^2 e^(-18x^3)dx=-(π/54)[e^(-18x^3)] [x=0,1/3] =(π/54)[1-e^(-18/27)] =(π/54){1-e^(-2/3)}
- bibendumbibendum
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18x^3=tとおきます。 すると 54x^2dx=dt です。 積分の中の式が exp(-t)/54dt になります。 あとはわかると思います。
{e^(-18x^3)}' = {e^(-18x^3)}×(-18x^3)' = {e^(-18x^3)}×(-54x^2) = -54 x^2 e^(-18x^3) よって (与式) = π[e^(-18x^3)/(-54)][0→1/3] = (π/54){e^0 - e^(-18/27)} = (π/54){1 - e^(-2/3)}
- hitokotonusi
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e^(-18x^3)を微分してみると d[e^(-18x^3)]/dx=-18 * 3x^2 e^(-18x^3)=-54 x^2 e^(-18x^3) したがって、 x^2 e^(-18x^3)dx = -(1/54) { d[e^(-18x^3)]/dx } dx = -(1/54) d[e^(-18x^3)] あとはわかると思います。
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お礼
できましたっ! 丁寧にご回答ありがとうございます!