プロ野球の優勝チームの勝率って

質問

プロ野球の優勝チームの勝率って
大体６割超えがボーダーラインですよね。
結構少ない勝率でも優勝できてしまうのだな、という印象です。
この優勝チームの勝率が大体６割超えになる、という事実を
数学的に証明することはできますか？

回答No.3

aquatarku5 · ベストアンサー

すっかりご返事が遅れてしまい失礼いたしました。

数式の導出をトライしてみたのですが、どうやら（自分には?）
解けそうもない感じです（下記）orz。

そこで、再度シミュレーションにより1位～6位のチームの勝率
の確率分布を求め、これを累積分布関数として画像添付させて
いただきました。
（今回のシミュレーション条件は、No1と基本的に同じです。
1点異なるのは、正規分布近似とせず二項分布をそのまま適用
した所です）

これによれば、
1位のチームは、99%の確率で勝率.515～.630となり、勝率.600
以上となる確率（即ちご所望の「優勝確率」）は5%となりまし
た（実感よりやや小さいでしょうか・・・）。勝率の平均値は.560
です。
2位のチームは、99%の確率で勝率.500～.570となり、勝率.600
、.560以上となる確率は、それぞれ0.1%、4%程度です。勝率の
平均値は.531です。

したがって、優勝チームの勝率が実感よりもさらにやや低いこ
と、勝率.560レベルだと2位以下に甘んじてしまう可能性が拭え
ないこと、がわかりました。勝率.600レベルだとまず間違いな
く優勝ですね。

本結果は1試合での勝敗確率p=0.5のケースですが、pを増やして
いくと、1位～6位の差が開くとともに、1位の勝率は上昇して
いきます。任意の2チーム間の勝率をすべて変数にすることも
できますが、変数個数が15個と多くトライ出来ませんでしたm()m

以上いかがだったでしょうか？

＜数式の導出のトライ＞
・チームi,j(i,j=1～6)の対戦結果、iの勝ち数=x_ijとすると、
　x_ijは確率変数で、いずれも二項分布B(N,p) (N=26,p=0.5)に
　従う。
・6チーム同士の対戦結果は独立に決まると考えると、x_ijの
　従う二項分布とx_klの従う二項分布は、i=kかつj=lでない限り
　独立。
・変数x_ijの個数は15(=6Ｃ2=6チーム同士の対戦組合せ数）。

以上から、
　チームiの合計勝ち数Wi=
　　Σ_{j=1}^{j=i-1}[N-X_ij]＋Σ_{j=i+1}^{j=6}[x_ij]
　1位のチームの勝ち数=max{W1,W2,・・・,W6}で、これの確率分布
　を得たかったのですが・・・

二項分布を正規分布近似したりもしてみたのですが、現時点で
歯が立たなかったです。シミュレーションの方がはるかにラク
ですね。

お礼

大変、ご苦労さまでした。
導出は無理でも、シミュレーション結果は参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.2

aquatarku5

No1補足です。
シミュレーション結果のヒストグラムです。

回答No.1

aquatarku5

勝確率がp=50%（負け=50%、引き分け無し）、各試合の勝敗は独立に決まるとの
仮定で、さしあたりシミュレーションしてみました。
（数学的導出には時間をください。数式を導くのは結構難しそうなので）

交流戦考慮は面倒なので,6チームA～F総当たりで、計130試合（いつの時代だ?!）
としてみました。

「AvsB」で、p=0.5で26試合行うと,「Aが○勝●敗」（＝「Bが●勝○敗」）と
いう結果が出ます。同様の処理を総当たりで行い,一番勝利数が多いチームのそれ
を計算します（なおここでは、二項分布を正規分布で近似してます）。

以上の操作を１回分として、これを1000回行ったところ、
平均73.3（標準偏差8.5)、メジアン72.5となりましたので、勝率6割相当の78より
若干低めに出ました。

現実には、冒頭の仮定に対し、チーム力の差からpに偏りがあること等から,ご推察
の6割超えになるのかもしれませんね。

お礼

わざわざシミュレーションまでしてご回答いただきありがとうございます。

日病生活のなかでふと疑問に思ったものですから質問してみました。

プロ野球ですから、実際には各チームの実力差に大差はないという条件
をつけるとある程度リアルな値が出てくるかもしれないと思いました。
例えば、任意の２チームの対戦成績の勝率は必ず２割以上８割以下に
収まると仮定する、とか。

＞（数学的導出には時間をください。数式を導くのは結構難しそうなので）

導けるとしたら、優勝勝率が６割超える確率が何％というような確率分布的な
答えになるのでしょうか。期待しております。