条件付確率

質問

袋の中に同じ大きさの赤球が５個、白球が４個入っている。この中から１個ずつ２回取り出し１回目は袋に戻さない。
１回目に赤玉が出たとき、２回目に白球が出る確率は？

１回目に赤玉が出る事象をＲ、２回目に白球が出る事象をＷとすると
求める確率はＰR(Ｗ)＝ｎ(Ｒ∩Ｗ)／ｎ(Ｒ)　（ＰR(Ｗ)のRは小さい）
ですが、ｎ（Ｒ∩Ｗ）＝20、ｎ（Ｒ）＝40となるのはナゼなんですか？
確率はすごく苦手です。詳しい説明がほしいです。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

ONEONEさん、こんにちは。

１回目に赤が出る事象をＲ
２回目に白が出る事象をＷとすると、

P(R)=5/9
このとき、残りは赤４個、白４個なので、
そのうちから、次に白を取る確率は、4/8=1/2=PR(W)ですね。
よって、１回目に赤、かつ２回目に白が出る確率は、
5/9×1/2=5/18=P(R)*PR(W)=P(R∩W)

＞求める確率はＰR(Ｗ)＝ｎ(Ｒ∩Ｗ)／ｎ(Ｒ)　（ＰR(Ｗ)のRは小さい）
ですが、ｎ（Ｒ∩Ｗ）＝20、ｎ（Ｒ）＝40となるのはナゼなんですか？

２回の連続して玉を取るという試行を行うと、
２回の試行すべての場合の数は、９×８＝７２
そのうち、１回目に赤の場合の数n(R)は
１回目に赤は、５通り。２回目の玉８個は、どれを取ってもよいので８通り。
よって、n(R)=5×8=40

n(R∩W)は、１回目に赤、２回目に白が出る場合の数だから
１回目は５通り。２回目は、白が４個残っているから
５×４＝２０通り。
だから、n(R∩W)=20

ということだと思います。
この問題では、「１回目に赤が出たときに、その条件の元で次に白の確率」が
1/2になっていることが分かれば、それでいいと思います。
頑張ってください。

補足

＞１回目に赤は、５通り。２回目の玉８個は、どれを取ってもよいので８通り。

n(R)は一回目に赤をひく事象の個数ではないのでしょうか？
２回目のことを考えなくてはいけないというのがわかりません。

この問題はつまりは赤１つひいた後の赤４、白４から白１つひくときの確率と同じということですか？

回答No.4

rainman

記号を文章に直すと

ＰR(Ｗ)＝２回引いて１回目が赤、２回目が白の確立＝
ｎ(Ｒ∩Ｗ)＝２回引いて１回目が赤、２回目が白の組み合わせ
ｎ(Ｒ)＝２回引いて１回目が赤の組み合わせ

となります。

結果としては「残り赤４白４の中から白を引く確立」という事ですが、
数学問題の性質上始まりから終わりまで
全て計算式を書かなければいけない為、
このようなまだるっこしい事になってしまっているんですね。

計算式の記入の不必要な際には頭の中で考えて
最も簡単な計算方法でやってしまって大丈夫ですよ。（笑）

お礼

＞ＰR(Ｗ)＝２回引いて１回目が赤、２回目が白の確立＝
＞ｎ(Ｒ∩Ｗ)＝２回引いて１回目が赤、２回目が白の組み合わせ
＞ｎ(Ｒ)＝２回引いて１回目が赤の組み合わせ

ここがわかってなかったのかもしれません。
よく理解できました。ありがとうございます。

回答No.3

fushigichan

＃２です。
＞この問題はつまりは赤１つひいた後の赤４、白４から
白１つひくときの確率と同じということですか？

そうですね。
１回目に赤を引く確率が、P(R)です。
１回目に赤、かつ、２回目に白を引く確率は、P(R∩W)です。

P(R∩W)=P(R)*PR(W)ですよね。
　　　　　　　　　　↑
ここの部分が条件付確率と言われているものです。
つまり、
「１回目に赤、２回目に白を引く確率」は
「１回目に赤が出る」ことが起こった「条件の下で２回目に白が出る」ことになります。

＞n(R)は一回目に赤をひく事象の個数ではないのでしょうか？
２回目のことを考えなくてはいけないというのがわかりません。

この問題では、１回目、２回目の連続の試行を１セットとして考えています。
ですから、すべての場合の数は、
１回目９通り×２回目８通り＝７２通りあるべきです。
その１回目の結果のみを、赤と限定した場合の
起こりうる場合の数は、５×８＝４０通りですね。

ただし、ちょっとこの解説は分かりにくいかも知れません。
私が＃２で書きましたように、最初に赤を引いちゃうと
赤４個、白４個が残りますから、
「そのうちから、白を引く確率」が、「条件付確率」であると考えたほうが
理解しやすいと思います。
結局は同じことなんですけどね。

私も最初、
PR(W)=n(R∩W)/n(R)
とするよりも、
P(R∩W)=P(R)*PR(W)
から考えたほうが素直で分かりやすいのにな、と思いましたから。
ご参考になればうれしいです。

お礼

詳しい説明どうもありがとうございます。

回答No.1

kbannai

答えは、20/72 つまり 5/18 です。

確率の計算は、状況を書き出してみるのが、視覚的に分かりやすいと思います。

１回目、２回目が
赤球 赤球 …確率は 5/9 × 4/8
赤球 白球 …確率は 5/9 × 4/8
白球 赤球 …確率は 4/9 × 5/8
白球 赤球 …確率は 4/9 × 3/8

求める確率は、上の２番目です。

確率はわかりにくいのです。もし、わかりやすかったら、この世の中から、宝くじや賭け事、保険はなくなってしまいます。

お礼

ありがとうございます。
でも、わかりにくいけどわからなくてはいけない身なので…