ｎ次元ユークリッド空間Ｒ＾ｎはハウスドルフ空間であることを示して頂けませんか？

質問

タイトルのままです。

よろしくお願いしますｍ（＿＿）ｍ

回答No.1

Caper · ベストアンサー

● これでよろしいでしょうか … 。

　 x と y を R^n から任意に選んだ 2つ の点とします。そして、これら 2点間 の距離を d とします。さらに、「 x 自身 」と「 x との距離が d より小さい点全部 」を要素とする集合を B(x; d) と表わすことにします。同様に、「 y 自身 」と「 y との距離が d より小さい点全部 」を要素とする集合を B(x; d) と表わすことにします。
　 このとき、B(x; d/2) ∩ B(y; d/2) = φ となります。
　 ゆえに、R^n は Hausdorff 空間 となります。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

お礼

回答ありがとうございます！

回答No.3

noname#221368

エ～、前質問の#2です。分離ってハウスドルフの事です。

　［ハウスドルフ空間の定義］
　　Ｘを位相空間とし、x，y∈Ｘをx≠yとする。xとyの近傍をVx，Vyとして、Vx∩Vy＝φとなるVx，Vyが、x，yについて必ず存在するなら、Ｘはハウスドルフである．

　Ｒがハウスドルフである事は、すぐ証明できると思います。後は積集合の直積部分集合の共通分がどうなるかを、積集合の定義に従って、想像するだけです。エ～、位相の基礎定理の証明は、余り難しく考えてはいけません^^。

お礼

いつも回答ありがとうございますｍ（＿＿）ｍ

落ち着いて考えてみたいと思います！
ありがとうございます♪

回答No.2

Caper

ごめんなさい。私は ANo.1 で回答した者です。ANo.1 の記述の中に、脱落と不自然な表現がありました。下記のように変更させてください。
　脱落とは「 2つ の "異なる" 点 」です。
　不自然な表現とは「 B(x; d) → B(x; d/2) 」です。

　x と y を R^n から任意に選んだ 2つ の異なる点とします。そして、これら 2点間 の距離を d とします。さらに、「 x 自身 」と「 x との距離が d/2 より小さい点全部 」を要素とする集合を B(x; d/2) と表わすことにします。同様に、「 y 自身 」と「 y との距離が d/2 より小さい点全部 」を要素とする集合を B(x; d/2) と表わすことにします。
　このとき、B(x; d/2) ∩ B(y; d/2) = φ となります。
　ゆえに、R^n は Hausdorff 空間 となります。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます！
助かりましたｍ（＿＿）ｍ

先に回答を頂いた方を良回答に選ばせて頂きました！
ありがとうございます★