方程式文章題の立式について

質問

中1生の数学を自宅で見ている親です。できれば中等数学教育ご経験のあるかたのご意見を頂ければと思います。

方程式の文章題の立式手順について学校では、
(1)未知数を置く、(2)数量関係（＝等量関係）を見出す、(3)数式として表現するという指導がなされているようです（子供の理解なので正確でないかもしれません）。

しかしこのやり方だと、買い物の単価ｘ個数＝代金等、等量関係が簡単に見えるものにはスムーズに入れますが、旅人算・過不足算型等、等量関係を題意から読み出さなければならないタイプに入ったときに上手く移行出来ないように思います。未知数をうまく置こうとすると、等量関係を視野に入れざるを得ないと思いますが、その事によって、立式のどの段階をやっているのかが曖昧になり、結果として等量関係の把握が上手くできないことがあるように思います。

大学の論文では、上記未知数の決定の前に文章の簡単化・図示という段階をおいているケースもあり、参考になりますが、その後は未知数の決定→等量関係の把握となっています。私には文章の簡単化と等量関係の把握を分けて、しかもその間に未知数の決定段階を置く意味がいまひとつ分かりません。

私はむしろ直截に等量関係の把握から入らせています。「この問題で等しい、変らないものは何？」という形で。未知数は、上記の文章題タイプを例に取ると、買い物型は等量関係も見やすく、それさえ見誤らなければ未知数はほぼ自動的に決まってしまいます。旅人算・過不足算型は等量関係は２つあって、２つとも見つけさせた上で、どっちを未知数にしてもいいよ、といっています。実際、未知数の選択で分数が入るとか煩雑になることはありますが、立式できない、解けないということはありませんから。

このやり方で今のところ問題ありませんが、連立方程式への移行等で落とし穴があるかどうかが心配です。ご意見頂ければ幸甚です。

回答No.3

bakaking · ベストアンサー

中学校教員です。
ご質問の件ですが、私はプラモデルの組み立てをイメージしています。

１．各パーツを作って、それから全体の組み立てに入る。
２．全体の設計図を頭に入れてから、パーツを作る。

どちらの組み立て方もアリですよね(^_^;)
どっちがいいかと言われると、「人それぞれです」としか言い様がありません。取り掛かりやすい方を選べばいいのです。

ただ現場に立って、いわゆる『文章問題嫌い』の子には２の考え方、つまり長い文章から等量関係を見出すことは難しいのかな、と感じています。
とりあえずパーツを作ってから、それをどう組み立てるかを考えさせる方が取りつきやすいのかと。
また、数学教師としては１の方が演繹的なので採用したくなる気持ちもわかります。（帰納的な見方は補助的なものだと数学の人は考えがちです）

ご心配の件ですが、落とし穴は無いと思ってもらって結構です。
鶴亀算を考えてみてください。
あれを算数で解くのはかなり発想力を必要としますが、連立方程式を立てて解くのはそう難しくはありません。
同様に、「XとYを合わせて10個買った」は１次方程式では「Xをx個買ったとすると、Yは(10-x)個買った」となりますが、連立方程式では「x+y=10」ですみます。
一般に、連立方程式のほうが立式はたやすいのです。

この程度の回答で失礼します。ご質問があれば遠慮なく。

お礼

ありがとうございます。プロの意見は重みがありますね。

私も古の昔に塾で教えていたことがあって、その際の経験から出てきたやり方なんです。そのときも「とりあえずパーツをつくる」ために、まずは判らないものをXと置いちゃえ、というのも導入段階ではやってみましたし、導入としては効果があると思います。

しかし、例えば過不足算のように未知数候補が２つある場合にもまず未知数を置くということに拘ると、かなり良くできる子でも、どちらを未知数にするか悩んでしまうんです。それに対して「そこは拘らないでいい、とりあえずどちらかを未知数にして等量関係を探すことに注力しなさい」と教えたところ先に進めたということがあり、自分の子供を見るときにもそうしてみたということです。

まず未知数を置けというのは、ポリアがそう言っている様に見えるんですね。ポリア自身は未知数をどう置くかに拘る姿勢ではないし、未知数を置く前に「問題をよく理解して」という一言を入れているんですが。私の考えではこの「問題を良く理解する」ことには等量関係の把握（という小難しい表現を使う必要もないんですが）が入り込むんじゃないか、そこまで行っちゃった方が却って楽なんじゃあと思っています。

確かに文章題嫌いの子だと難しいのかもしれませんね。一応愚息は学校の定期テストではまともな点数が取れていて、やや難しい問題（最高水準問題集の中で中くらいのレベル）になるととたんにてこずるというレベルです。

回答No.5

bakaking

回答への補足はできないのかな？
実は「初めてのgoo」なんです(汗)。

確かに過不足の問題とか「Ａが出発してからｎ分後にＢが出発して、追いつくのは？」（←最近流行しています）では、等量関係に注目した方がいいというのもうなづけます。
文章題に習熟すると、問題文の最初を眺めただけでどのように式を構成するかがパッとわかります。
それができないのは「読解力＋数学的思考力」が足りないためだと思っていましたが、最近は「生活力」も必要なのかなと思っています。例えば文章題では買い物問題が出てきますが、バーコードでピピピの現在ではどれくらい考えて買い物しているのかと。
それはさておき、自分の実践では問題を線分図や表を用いて整理させています。手間や時間はかかってしまいますが、文章より理解しやすいことは確かです。「パーツ作り」と「等量関係の把握」の両方を見据えた解決策だと思います。
最終的な目標は頭の中で問題文を数式に『翻訳』できるようになることですが、そこに至るには経験値が必要でしょう。

余談ですが、他の方へのお礼を読ませていただきました。息子さんが怒られたとのことですが、それがご質問に繋がったのかと愚考しています。その先生についての意見は情報が不足しているので控えますが、あえて不自由な立場で問題を考えることも思考力の育成になると思います。1次方程式の文章題を算数で解くのは大人にとってもいい脳トレになりますよ(^_^)。

お礼

お礼しておらず失礼しました。ありがとうございます。

小学校で～算を教えていたときに線分図・表を多用したので、必要に応じてその引き出しは開けられるようです。

怒られたことが質問のきっかけという訳では必ずしもありません。質問の趣旨は、ｘｘ年前に塾講師をやっていたときから感じていたことです。

連立のことについて、専門家の方に対し生意気な言い方で失礼しますが、私は方程式の世界＝抽象化の世界、抽象化することによって、あれだけ色々なルールを覚えなければならなかった～算が単一のルールで解けるでしょ？という方向で興味を持たせる方針でやっています（勿論正確で深い理解の為には具体⇔抽象を行ったり来たりできる能力が必要なことは充分意識しています）。その意味では連立まで一気に持って行った方が良いと思っていますし、子供も明らかに未知数が２つあるんだから、連立のほうがわかりやすいといいます。男女合わせて50人のクラスと見たらx+y=50と置けといってしまったほうが簡単で、これを女は50-ｘだというのは連立派から見れば、等式変形を暗算でやるという複雑さを持ち込むだけで、本当に益があるのかなあ、却って混乱するんじゃないかなあと思ってしまいます。数学＝代数の世界に進んだからには、算数的なad hocなテクニックは使わないで済むというのがご利益だと思わせたほうがいいという戦略です。でないと、何でxとかややこしいものを学ばなくちゃいけないの？という疑問が払拭できない様に感じます。理屈じゃなくて実践経験から。

回答No.4

f272

私が，子供に教えるときのやり方は大体決まっています。
(1)まず初めに，問題文で言われていることを理解しているかどうかの確認です。ようするに子供が自分の言葉で問題を説明できるかどうかですね。この時点で，できない子供もいます。ようするに日本語が分かっていない子供ですね。
「大学の論文」で言うところの，「文章の簡単化・図示という段階」にあたるところです。
この段階は，できる子供には省略します。
(2)次に，問題に何が与えられているのか，何が与えられていないのかを子供に聞きます。「未知数の決定段階」とも言えますが，未知数だけではなく，既知数についても聞きます。これで与えられている条件が整理できます。ここで未知である数量は1つに限ることはありません。最終的に出来上がる式の未知数となるのかどうかは(3)の段階で決まります。
この段階は，いわゆるできる子供に対しても，その問題が分からないと言っているときには省略しません。
(3)ここからが思考段階です。(2)で明らかにした数量間の関係を聞きます。
「私はむしろ直截に等量関係の把握から入らせています」というのは，私から見ると上で言った(2)の段階を，それが簡単な場合に省略しているだけのように思えます。

> 連立方程式への移行等で落とし穴があるかどうか
方程式は連立している方が立式は簡単ですよね。これは子供自身に聞いてもそのような感想を持っているようです。

お礼

ありがとうございます。参考にさせて頂きたいと思いますが、(2)の段階で具体的に何をやるのかがいまひとつ良く理解できません。問題に与えられているもの、というのは問題が与える条件・情報のことかと思いますが、「与えられていない」ものというのがイメージできません。

問題が与える条件を整理ということと、問題文を理解するということの違いも、こういうわけ方は良くなされていますが、ハッキリと理解できていません。また、これらと等量関係の把握は一応異なるとは思いますが、それを分けるのもどうかな、と思っています。上手く言えませんが、等量関係の把握という目標なしに、問題文の理解・問題が与える条件の整理をやらせても子供はその場に佇んでしまうように思うんです。それゆえ、等量関係の把握という目標を最初から明示して、簡単に把握できるならそれでよし、簡単には把握できない場合は条件を整理しないとできないよね、という持って行き方のほうが上手く行くと思っています。特に入試問題レベルの込み入った問題になると、無目的に問題条件の整理等をやらせてしまうとそこまでで疲れてしまい、その後の等量関係把握まで集中力が続かない虞があるように思います。

連立方程式についてはその通りですね。子供には二元連立方程式まで教えてしまっているので、学校でクラスの男女の人数問題を連立で解いて怒られ、こっちのほうが簡単で判りやすいと食い下がった結果、通知表を一つ下げられたようです．．．。

回答No.2

Tacosan

とりあえず「論文」は無視してやってください. あれの順番は思考過程とは必ずしも一致しません. 極端にいえば「実は後で未知数を追加した」場合であっても, そんなことは文章にはせず「最初から未知数としておいている」ように見せるのが普通です (途中で「実はこれも入れないとダメ」とすると読む人間が混乱する可能性がある).
安全サイドで行くなら, たぶんいわれるように「文章から量の間の関係を立てる」ことを先にやった方がいいと思います. 何を変数とおいても, この関係が立たないと進まないし.

お礼

ありがとうございました。確かに「文章のビジュアル化」については随分力を入れて説明されている割に、ではどういう手順でやるかという部分は粗雑にしか書かれていませんね。

回答No.1

shenyi401

割合の問題(人数の増減や売買)では，先に未知数を決定した方が立式が容易になります。ただし，

＞等量関係の把握から入らせて，どっちを未知数にしても，立式できない、解けないということはありません。

ということなら，立式の煩雑さを厭わなければ問題はないでしょう。

お礼

ありがとうございます。

一次方程式は文章題のパターンは限られているので、パターン毎に立式の仕方を教えれば簡単なのかもしれませんが、できるだけ、一般的なやり方というか切れるツールを与えてやりたく、上記のやり方をしています。