運動のフーリエ解析について

質問

数学的手法には初心者なので困っています。
現在、プランクトンの運動解析を行っています。水平方向をX軸、上下動はY軸(奥行きは狭い隙間なので無視)として、30fpsで動画を撮影し、1コマごとの移動度を座標間の引き算で計算して、X、Y方向それぞれの移動度を求め、その各コマ間の移動度のデータをFFTで解析して、運動の周期性を検出して、シミュレーションプログラムを作成しようとしています。
　しかし、ここで疑問点が三つ
1)　運動の方向性も同時に検出しているので、座標間の移動度には、+と-があるのですが、この場合、負の数のデータをそのままフーリエ変換してもよいのでしょうか? それとも、例えば最大の絶対値で負方向の数を一律に底上げしたりして、正に置き換えなければならないのでしょうか?
2) 例え負の数をそのままFFTにかけたにせよ、運動の方向性は結果わからなくなりますが、この場合、運動の方向性として、例えば正の移動度と負の移動度の頻度(各コマの移動方向が正なら1負なら-1とする)をフーリエ返還して、正負の周期性を求めることは正しい方法でしょうか?

3)最後に超基本的な質問ですが、この場合、データの平均はどの数字で取るのでしょうか?
　やはり移動度の生データだと、正負があるので0に近くなってしまう可能性があります。フーリエ変換結果を平均すべきなのでしょうか? それとも変換結果の絶対値を平均すべきなのでしょうか?

回答No.1

m-a-s-a-o · ベストアンサー

運動の周期性検出ということですので、フーリエ変換が適していると思います。
円運動を想定しているのであれば、x 軸と y 軸をまとめて解析できます。
つまり、実数部に x 軸座標の値、虚数部に y 軸座標の値を設定して、
フーリエ変換を行ないます。差分値（微分値）をフーリエ変換する必要はありません。
周期性は微分しても変化しないからです。

1) + と -
フーリエ変換の対象は複素数です。負の値をフーリエ変換しても大丈夫です。
プラス・マイナスだけでなく、虚数を持ちます。

2) 正負の周期性
残念ながら、運動の方向性の定義が理解できません。
仮に、移動方向を正負（±1）で考えて、上記のフーリエ変換をかけることは可能で、
周期性が検出できるかもしれません。ですが、ノイズに弱くなり、折角の情報量を
無駄にしていると思います。

3) 平均
x 軸の計測値、y 軸の計測値のそれぞれを平均すれば、移動の中心点が得られます。

お礼

ありがとうございます。
平均に関しては、解析結果の絶対値を平均した方が回帰曲線の相関係数が高くなり、両対数グラフでもほぼぴったり累乗近似の線に乗っかるのですが、計測値の平均では相関係数が低くなります。解析結果を平均するのは間違いでしょうか?