また線形代数なのですが

質問

行列式
| a b c d |
|-b a -d c |
|-c d a -b |
|-d -c b a |
を求めるのですがさっぱりわかりません。
ご教授お願いします。

回答No.6

noname#101087

>..... ちゃんと
>　|A + iB|*|A - iB|
>を勘定するのです。

試しに勘定。
　|A + iB| = (a^2 + b~2 + c~2 + d^2)

なるほど、「高級テクニック」の威力です。

補足

高級テクニック・・・しりたいです。

なぜ|A + iB|*|A - iB|になるのですか？？？

回答No.5

info22

#1,#3です。
A#3の補足について
>計算はA^2+B^2でA=a^2+d^2,B=-c^2-d^2
A^2+B^2にはなりませんね。
(A-B)^2になるようです。

[別解]A#3の行列の分解による方法
| a b c d |
|-b a -d c |
|-c d a -b |
|-d -c b a |
=
|0 0 c d|
|-b a -d c|
|-c d a -b|
|-d -c b a|
+
|a b 0 0|
|-b a -d c|
|-c d a -b|
|-d -c b a|
=
|0 0 c d|
|0 0 -d c|
|-c d a -b|
|-d -c b a|+
=
|0 0 c d|
|-b a 0 0|
|-c d a -b|
|-d -c b a|
+
|a b 0 0|
|0 0 -d c|
|-c d a -b|
|-d -c b a|
+
|a b 0 0|
|-b a 0 0|
|-c d a -b|
|-d -c b a|
=(c^2+d^2)^2
+(a^2+b^2)(c^2+d^2)
+(a^2+b^2)(c^2+d^2)
+(a^2+b^2)^2

↑これを因数分解すれば答えの式になります。

#1に書いた
>地道に一行目に関する小行列式展開して地道に計算間違いをしないように計算して行くだけの問題です。

はやってみましたか？
一番確実で基礎的な、どこにも載っているやり方ですが

=a*
|a -d c |
|d a -b |
|-c b a |
-b*
|-b -d c |
|-c a -b |
|-d b a |
+c*
|-b a c |
|-c d -b |
|-d -c a |
-d*
|-b a -d |
|-c d a |
|-d -c b |
=　...

↑この続きはできますか？
２ｘ２行列として　「a,bだけ含む行列」、「c,dだけ含む行列」に
注目しながら、式をまとめつつ
さらに小行列に分解していくようにすると良いでしょう。

お礼

ありがとうございました。

別解の方法で答えにたどりつけました。

#1のはやってみます。

回答No.4

noname#101087

>|A -B|
>|B A|のかたちにできたのですが
>
>A=| a d| B=|-c -b|
>|-d a| |-b c|
>
>で計算はA^2+B^2でA=a^2+d^2,B=-c^2-d^2 で答えが(a^2+b^2+c^2+d^2)^2にならない.....

ブロック分割の高級テクニックですか。

残念ながら A^2+B^2 ではなく、ちゃんと
　|A + iB|*|A - iB|
を勘定するのです。

回答No.3

info22

#1です。
ここは問題の丸投げもそれに対する丸解答もマナー違反（削除対象）なので、
質問者さんの自助努力の解を補足の書いて、行き詰っている所があればその箇所の質問をして行き解決するようにする。アドバイス等を貰ったらそれをもとに解答を先に進めて、分からなければ、そこまでの途中計算を書いて補足質問をして解決して行き最終的な答えに辿り着くようにして下さい。

参考URL
質問の問題は次のURLのP9の問題４に同じ問題があり(1)にやり方、(2)に答えが載っています。
http://www.ne.jp/asahi/nishimura/takashi/jyugyou/linear/det-1.pdf

補足

２行と４行を入れ替え、２列と４列を入れ替えてみたのですが
| a b c d |
|-d -c b a |
|-c d a -b |
|-b a -d c | ←２行と４行

→| a d c b |
　|-d a b -c |
|-c -b a d |
　|-b c -d a | ←２列と４列

となって一応
|A -B|
|B A|のかたちにできたのですが

A=| a d| B=|-c -b|
|-d a| |-b c|

で計算はA^2+B^2でA=a^2+d^2,B=-c^2-d^2
で答えが(a^2+b^2+c^2+d^2)^2にならないのですがどこがおかしいですか？

回答No.2

noname#101087

ブロック分割はいかが？

4 次正方行列を 2*2 にブロック分割して、
　|A　B|
　|C　D| = M
の形にして、行列式 det(M) を勘定する式を作ります。(I は単位行列、A~ は A の逆行列)
　|A　B|
　|C　D| = M1*M2
ただし、
　|I　　0|
　|CA~　I| = M1

　|A　B|
　|0　D'| = M2　　D' = D - CA~B

ここまで、確かめてみてください。OK ならば、
　det(M) = det(M1) * det(M2) = det(A)*det(D-CA~B)
として勘定できます。

回答No.1

info22

解法
地道に一行目冠する小行列式展開して地道に計算間違いをしないように計算して行くだけの問題です。
展開後、式を因数分解しておいて下さい。

参考URL
http://www.ns.kogakuin.ac.jp/~ft13048/manuscripts/2009lasheet06appendix.pdf