極座標の問題

質問

楕円x^2+y^2/9=1上に3点P,Q,Rがこの順に反時計回りに並んでいて、∠POQ=∠QOR=∠ROP=120°であるとき、次の式の値を求めよ。
1/(OP)^2+1/(OQ)^2+1/(OR)^2
という問題が解けないです、教えてください

回答No.4

noname#95312 · ベストアンサー

P点を複素平面上、r_p・e^(i・φ) にとると
Q、R点は、r_q・e^[i・{φ+(2π/3)}]、r_r・e^[i・{φ-(2π/3)}] と表わせる。
ただし、r_q、r_r は |OQ|、|OR| である。

これら三点は何れも楕円上にあるので、
　　　　(r_p・cosφ)^2　　　+　　　{(r_p・sinφ)^2}/9　　=　　1　　　(*1)
{r_q・(a・cosφ-b・sinφ)}^2+{r_q・(a・sinφ+b・cosφ)^2}/9=1　　　(*2)
{r_r・(a・cosφ+b・sinφ)}^2+{r_ｒ・(a・sinφ-b・cosφ)^2}/9=1　　　 (*3)　
ただし、a=cos(2π/3)=-1/2、b=sin(2π/3)=√3/2　である。

(*1) より、(1/r_p)^2=(cosφ)^2+{(sinφ)^2}/9
(*2) より、(1/r_q)^2={(a・cosφ-b・sinφ)}^2+{(a・sinφ+b・cosφ)^2}/9
(*3) より、(1/r_r)^2={(a・cosφ+b・sinφ)}^2+{(a・sinφ-b・cosφ)^2}/9

上の三式の和は、{1/(OP)^2}+{1/(OQ)^2}+{1/(OR)^2} であり、
{1/(OP)^2}+{1/(OQ)^2}+{1/(OR)^2}
=(cosφ)^2+{(a・cosφ-b・sinφ)}^2+{(a・cosφ+b・sinφ)}^2
+{(sinφ)^2}/9+{(a・sinφ+b・cosφ)^2}/9+{(a・sinφ-b・cosφ)^2}/9
=(cosφ)^2+2{(a・cosφ)^2+(b・sinφ)^2}
+[(sinφ)^2+2{(a・sinφ)^2+(b・cosφ)^2}]/9
={1+(1/2)+(1/6)}(cosφ)^2+{(1/9)+(1/18)+(3/2)}(sinφ)^2
={(6+3+1)/6}(cosφ)^2+{(2+1+27)/18}(sinφ)^2=5/3

故に、{1/(OP)^2}+{1/(OQ)^2}+{1/(OR)^2}＝5/3

回答No.5

mb4808

まず、 cos^2(A) + cos^2(A+120°) + cos^2(A+240°) を
計算しておきます。
これを加法定理で展開し、整理すると A の項は消えて定数 ３/２ になります。　

楕円の長径を 2a、短径を 2b とすると、楕円の中心を極とした極座標は
ρ^2=(ab)^2/(a^2-(a^2-b^2)cos^2(θ))　となります。
1/(OP)^2+1/(OQ)^2+1/(OR)^2
=((a^2-(a^2-b^2)cos^2(θ))+(a^2-(a^2-b^2)cos^2(θ+120))+(a^2-(a^2-b^2)cos^2(θ+240)))/(ab)^2
=(3a^2-(a^2-b^2)*3/2)/(ab)^2
a^2=9,b^2=1 を代入すると
=5/3

ちなみに　３以上の整数Ｎに対して
cos^2(θ+360°*k/N) のｋ＝0からN-1 までの総和は　θの値にかかわらず　 N/2　になります。

回答No.3

rnakamra

#1のものです。
すみません。間違っています。
忘れてください。

回答No.2

mister_moonlight

x＝r*cosθ、y＝r*sinθから、x^2+y^2/9＝1に代入すると、r＾2＝9/{9（cosθ）＾2＋（sinθ）＾2}から、9（1/r）＾2＝9/(OP)^2＝3＋2cos（2θ）。‥‥(1)
∠POQ＝∠QOR＝∠ROP＝120°から、9/(OQ)^2＝3＋2cos（2θ＋4π/3）。‥‥(2)　9/(OR)^2＝3＋2cos（2θ＋8π/3）。‥‥(3)
(1)＋(2)＋(3)から、9{1/(OP)^2+1/(OQ)^2+1/(OR)^2}＝9＋2{cos（2θ）＋cos（2θ＋4π/3）＋cos（2θ＋8π/3）}となる。‥‥(4)
cos（2θ）＋cos（2θ＋4π/3）＋cos（2θ＋8π/3）＝和を積に変形して＝cos（2θ）-cos（2θ＋2π）＝0.
従って、9{1/(OP)^2+1/(OQ)^2+1/(OR)^2}＝9　→　1/(OP)^2+1/(OQ)^2+1/(OR)^2＝1.

計算はチェックしてね。

回答No.1

rnakamra

OPとx軸の正の方向との角度をθとおくと、
P(cosθ,3sinθ)となります。
同様に、Q,Rを表してみる。(θがθ+120°,θ+240°に変わるだけ)
1/OP^2+1/OQ^2+1/OR^2に上記の表式から求めたOP,OQ,ORを代入するとθの式になる。
後はそれを加法定理やその他の関係式を使って変形していくだけです。

お礼

有難うございます。
これで一回解いてみます