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線形代数の基と次元について
Dim(W)=n-rank(A) の公式がどうも良く解りません。 次の解空間の次元と1組の基を求めよ、 W=x∈R^5, (X1)-2(X2)+(X3)+2(X4)+3(X5)=0 2(X1)-4(X2)+3(X3)+3(X4)+8(X5)=0 という問題があったのですが、これの係数行列を簡約化すると 1 -2 0 3 1 0 0 1 -1 2 となりますよね。 ここで、(X1)=-2(X2)+3(X4)+(X5), (X3)=-(X4)+2(X5) と見て、 x= 2(c1)-3(c2)-(C3) (c1) (c2)-2(c3) (c2) (c3) とすれば、基の個数は3となるのですが(これが正解)、 (X2)=-(X1),(X4)=3(X1)-(X3),(X5)=(X1)+2(X3) と見て、 x= (c1) -2(c1) (c2) 3(c1)-(c2) (C1)+2(C2) とするのは何故駄目なのですか? この場合、次元は2になるのでは無いかと思って、自分でどこが間違っているのか考えてみたのですが、良く解りませんでした。 よろしければ、自分の考え方のどこが間違っているのか、何故駄目なのかを教えてください。
- izha
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> (X2)=-(X1),(X4)=3(X1)-(X3),(X5)=(X1)+2(X3) と見て、 どうやってこのように見たのでしょうか? 結果としては,こう見ることができません. 実際,もしこう置いてしまうと必ず 2x1 = -x2 になりますが, この条件を満たさない解が存在します. 例えば (x1,...,x5) = (-1,0,-2,0,1) はそのような解の1つです. 何故正解が係数行列を簡約化し,どうして (X1) = ..., (X3) = ... と置いたかは理解していますか?
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