端面のみが発熱する熱伝導

質問

断面積Ｓ、長さＬの棒がある。(熱伝導率α,比熱c,密度ρ)
Q(x,t)=A*logt*δ(x)で発熱するときの温度T(x,t)が知りたいのですが
どのように解けばよいのでしょう？
どうか教えてください！！

熱伝導方程式として
δＴ/δｔ＝δ/δｘ(δＴ/δｘ）+Ｑ(x,t)
を解けばよいのでしょうか？（δｘの前の係数は省きました）

ただ、これは自力で解けませでした・・・

回答No.1

noname#82173 · ベストアンサー

Q(x,t)=A*logt*δ(x)　という熱源の設定は妥当性を欠いている。
t=0 のとき、log(t)→－∞ となる。
もし、熱源が Q(x,t)=A*δ(x) だと、温度は時間と単調に増加し、
無限大になる。

熱源を外してからの温度分布、温度の経時変化を求めるのなら、
温度、T(x,t)をxについてフーリエ変換すればよいのだが、
その場合、断面積が与えられているだけではだめで、縦横の寸法、
あるいは半径などの断面の形状が分からないと求められない。

補足

いやこの設定で合っています。
熱源が接している時間は無限ではありません。
というか、設定上これでしか熱源を表現できないのです。
実験のシュミレーションをかねて考えているんです。
実際に知りたいのは5秒くらいまでの時の温度分布です。

棒形状は断面積Ｓの円柱。
もしくは、断面が縦a横bの長方形の棒。

で、考えてもらいたいです。
よろしくお願いします！！

回答No.3

noname#252183

こんにちは。lycaonです。

>δＴ/δｔ＝δ/δｘ(δＴ/δｘ）+Ｑ(x,t)
>を解けばよいのでしょうか？

微分式なので対象系内(棒内)の微小体積に適用します。Q(x,t)が系内の発熱なら、発熱する微小体積部分だけに適用します。熱の全量が外部から熱伝達されるなら、本来は適用できません。
棒を熱源に接触する場合、近似的に棒の端面だけが発熱しているとみなせば、端面のみに上式のQを使えます。

ところで実際には、熱源の熱の全量を棒だけに伝わるよう実験設備を作ることは難しいでしょう。
熱量に散逸がある場合は、境界条件を測定困難な熱量で与えるよりは、実測容易な温度で与える方がシミュの精度も上がるでしょう。

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前問「断面積の違う熱伝導方程式」
http://okwave.jp/qa4779221.html
への回答は、熱伝導よりは差分法の解説に重きを置き、例題6で目的は達成したつもりでしたが、こちらのご質問に対する回答の意味で (例題7)系内発熱＆対流熱伝達 を追加しました。(一箇所に固めておく方が通読に便利との考え.)

一冊の本になる分野なのに 1600バイト制限のため文章・コードともできるだけ短縮し、詳細は書けませんでした。（私に詳細な知識があるわけではありませんが。。。）

例題7は発熱体表面温度を定式化できないかに時間を費やしました。
予想した式にFitせず、無理に合わせたら物理意味が不明で、この部分だけは満足できません。
（ちなみに図中記入の式は、通電後90分以内ですが T(τ)=A*logτでもほぼ同じ形でした。）

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回答中でプログラムを公開しています。
会社員時代ならともかく定退後の今作るコードは、本来自分のPCから出ないまま終わる運命。
コードは初歩的だし、保管しておいても意味ないので、公開してきました。

前問は他にレスもつかず落ち着いて記述できましたが、既に埋もれており、宜しければそろそろ閉めて頂きたく存じます。

回答No.2

inara1

棒の側面からの熱の出入がない（棒の半径方向の温度分布はない）と仮定していいですね。
棒の反対側の端面の境界条件が分からないと解は定まりません。以下のどの場合でしょうか。
　（１）　断熱　→ x = L のとき Q = -k*S*∂T/∂x = 0、Q：x 方向に伝達される熱量 [W]
　（２）　温度一定　→ x = L のとき T = Ta
　（3）　熱伝達係数一定　→ x = L のとき Q = -k*S*∂T/∂x = h*S*( T - Ta )、h：熱伝達係数[W/m^2/K]、Ta：冷媒温度 [K]
それと、t = 0 のとき、棒の温度は一定値でしょうか（その温度は？）。

補足

t=0のとき温度20度です。
訂正としてＱのlogtはlog(t+1)の誤りでした。

条件としては（１）でお願いします！