弦の振動について

質問

２種類の異なった材質でできた弦をつないで１本の弦を作り8.0Nの力で張る。S1,S2の線密度はそれぞれ2.0×10^-4(kg/m), 3.2×10^-5(kg/m)である。
(1)外部からこの弦に振動を加えて、Bを節とする共振を起こす振動数の中で、最小の振動数は何Hzか。

(2) (1)の狂信状態で、定常波の腹は全体でいくつできるか。また、S1を伝わる波の波長はいくらか。

この問題を教えてください。１本の弦だとできるのですが、２本だとこんがらがってしまいます。

回答No.1

ichiro-hot · ベストアンサー

●弦の長さが指定してないので、最後まで解けない。
　共振の考え方のほうが重要？

●Ｂはつなぎ目のことでしょうね？
　つなぎ目でないと解けなくなるので・・・
　つなぎ目が節になる＝それぞれの弦の『固定端の固有振動』の問題になる。
（　開放端の共振も有るだろうけれど、そのときは境界条件が複雑だろうな。節になるというだけでそういう困難をうまく逃げているところがこの問題の面白いところかな・・・）

●弦の固有振動数ν＝（ｘ/２Ｌ）｛√（Ｔ/ρ）｝

※●外部からの強制振動がそれぞれの固有振動数と等しくなったときに共振が起こる。ν（外部）＝ν１＝ν２

※●後は、ｘ１、ｘ２は節の個数なので自然数であることから、Ｘ1/Ｘ２は有理数。これを既約分数（通分した分数）で表せば、最小のＸ１，Ｘ２の組合せになっている。
・・・・弦が2本になったとき解けないのは上の二つの考え方に躓いているのだろう。共振が外部からの強制振動があって、それぞれの弦が同じ振動数になること、それが基本振動数の整数倍という条件でどのようにすれば解けるかというだけ・・・
ν１＝（ｘ１/２Ｌ１）｛√（Ｔ/ρ１）｝，ν２＝（ｘ２/２Ｌ２）｛√（Ｔ/ρ２）｝
（ｘ１/２Ｌ１）｛√（Ｔ/ρ１）｝＝（ｘ２/２Ｌ２）｛√（Ｔ/ρ２）｝
ｘ１/ｘ２＝（Ｌ１/Ｌ２）・｛√（ρ1/ρ2）｝
；右辺を数値計算し、値を求める。
例：２．２５・・・小数点以下に注目。逆数を取る。１/０．２５＝４→4倍すると小数部分が整数になる。２．２５×（４/４）＝（２．２５×４）/４＝９/４
これを既約分数；・・・１８/８とか割り切れる値のときは通分して９/４としておくだけ。そうするとＸ１、Ｘ２の最小値になっている。
ここまでくれば後は一本道・・・・