topology

質問

open setのclosureのinteriorって，もとのopen setと一致・・・しないですか？
低レベルな質問ですみません。

回答No.1

noname#8570 · ベストアンサー

とりあえず
interior = 「内点」
なので，考えているclosureに含まれる全てのinteriorの集合と考えてよろしいですか？
それと
「なぜ一致すると考えるのか」
と言うことを書いていただけると，
良いとか良くないだとかの話がしやすいと思います．
ちなみに数学なので，「直感的に」という考え方は，
ほとんど意味をなしません．

さて，結論から言ってしまえば，同じではありません．

例えば数直線で考えると…
open setとして{x:1<x<2,2<x<3}を取ります．
このclosureは{x:1<=x<=3}となります．
そしてこのinteriorすべての集合は
{x:1<x<3}となり，最初のopen setより大きくなります．

穴(上の例ではx=2)が無いようなopen setに対しては同じになります．

お礼

ありがとうございます！
そう思う理由も反例も思いつかなかったので・・・（汗）
とても簡単な反例，ありがとうございました。