数学

質問

うまく、答えがまとまらないのでおしえてください。
○3x＋2y=-12a
○2x＋ay=6
を満たすxとyが正の整数であるようなa
の整数値の求め方をおしえてください

いつでも結構です。

回答No.5

neue_reich

いろんな解法が出ていますが、原始的に積み上げてみます。

まず、aの符合を決定します。
これは簡単で、
　3x＋2y=-12a
の式と、xとyが正の整数であることから、
　左辺＞＝０　であることがわかります。（等号が成立するのはx=y=0のとき）
よって、右辺も正になるはずですが、-12がaにかかっています。
よって、
　a<0
aは負の数であることがわかります。

又、3x+2yは１２の倍数であることも、aの整数値を求めるという題意より
わかります。

求めたいaが整数なので、二本目の式より、
xはyより大きいこともわかります。
（2x+ay=6 より、x,yは共に正、aは負なので）

x>yであり、3x+2yが１２の倍数であるようなxとyとそれに対応するaの
組み合わせ(x,y,a)は
(6,3,-2),(10,3,-3),(10,9,-4),(12,6,-4),(14,3,-4),(14,9,-5)
のようなものがあります。
これらを二本目の式に代入すると、それぞれ
　12-6=6
　20-9=11
　20-36=-16
　24-24=0
　28-12=16
　28-45=-17
となります。
よって、a>=-5の範囲では、
　(x,y,a)=(6,3,-2)
が答えです。

（もう一つくらいは答えがありそうですが、数値が大きくなるにつれて、
二本目の式のayの増え方が2xの増え方をしのぐと思われるので、
答えは１つか２つ、せいぜい３つだと思われます）

回答No.4

eatern27

#3です。
＞3a-4,y-8が整数であること、a<0,y>0であることを考えれば、
＞3a-4とy-8の候補は絞れます。
と書きましたが、3a-4は1を足せば3で割り切れる、ということも考えれば、この時点でa,yの候補は2つに絞れます。
2つの候補を最初の式に代入すると、xは２つとも整数となるので、
a=-2 ,-7
(a=-2のとき、x=6,y=3)
(a=-7のとき、x=24,y=6)

こんな感じでしょうか?

#2さんの最後の方に
＞また、y=6のとき(B)からx=24となり、(A)からa=-13/2となり不適。
とありますが、
(A)はa=-(3x+2y)/12で、
3x=12*6、2y=12だから、ちゃんとa=-7(整数)になりますね。
何か、勘違いしていたらすいません。

回答No.3

eatern27

こんな解き方もあります。
1つ目の式とx>0,y>0から、a<0
(1つ目の式)*2-(2つ目の式)*3を変形して
(3a-4)(y-8)=50
3a-4,y-8が整数であること、a<0,y>0であることを考えれば、
3a-4とy-8の候補は絞れます。
求めたaとyを最初の式に代入して、x>0の整数となれば、それが答えです。

回答No.2

mozniac

未知数が３つあるので、扱い難いような気がします。
なので一つ消してみましょうか。

a,x,y全て整数ですが、xとyは「正の」整数なので条件がきつくなります。なので、aを消去してx,yの関係式を作ってみましょう。

3x＋2y=-12a より a=-(3x+2y)/12・・・・・(A)
これを2x＋ay=6 に代入して両辺に12を掛けると
24x-3xy-2y^2=72（「^2」は2乗の意味です）
ここからの整理なのですが、色々な方法が考えられます。
24xと3xyは3xが共通因数、2y^2と72は2が共通因数なので、
3x(8-y)=2(y^2+36)・・・・・(B)
と変形してみますか。
そうすると、
右辺>0から、左辺=3x(8-y)>0。x>0より8-y>0から
0<y<8・・・・・(C)
また、左辺は3の倍数だから、右辺も3の倍数。
2は3の倍数ではないので、y^2+36が3の倍数。36が3の倍数なので、y^2が3の倍数。よってyが3の倍数なのだから、(C)よりy=3または6。
(B)に代入して、y=3のときx=3。(A)からa=-2。
また、y=6のとき(B)からx=24となり、(A)からa=-13/2となり不適。
したがって、a=-2が解。

不明な点がありましたら、なんなりとお知らせください。

回答No.1

kony0

この問題の答えをそのまま答えるのはあまりにも芸がないので。^^;

まず、xとyをaで表してみましょう。

つぎに、例えば6/aが整数になるようなaの整数値の求め方は、aの約数（の±）を考えて、a=±1,±2,±3,±6ですね。これもヒントです。

じゃ、(2a+3)/(a-3)が整数となるようなaの整数値は？というと、
これは、「帯分数化」するのです。帯分数と言えば、21/8を「2と5/8」とすることですね。（小学生でおなじみ）
これは割算をして、21÷8=2余り5だからこうなるわけですね。
これと同じように考えると、(2a+3)÷(a-3)=2余り9なので、
(2a+3)/(a-3) = 2 + 9/(a-3)
ということで、a-3は9の約数（の±）
a-3=1,3,9,-1,-3,-9
よって、a=4,6,12,2,0,-6が答えです。

これくらいができれば解けるんじゃないかなぁ？がんばってみてください。p(^^)q