Ｇａｕｓｓ－Ｇｒｅｅｎの定理

質問

Ｇａｕｓｓ－Ｇｒｅｅｎの定理が何者なのか、何がなんだかわかりません。
誰か分かる範囲で結構ですのでなるべく初心者向けに教えてください。
お願いします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度まで

Gauss-Greenの定理は、名前の通り、ガウスの定理とグリーンの定理、（双方とも体積分を面積分に変換する形式）の一般形です。
Gause-Greenの定理は、微分可能な3つの関数:ｆ,g,h に対しての関係式です。
Gauss-Greenの定理：
閉曲面Ｓで囲まれた空間領域をＶとして、l,m,n を曲面Sの外向きの
法線の方向余弦とするとき、
∫∫∫v(∂f/∂x+∂ｇ/∂y+∂h/∂y)dV=∫∫s(fl+gm+hn)dS　----（1）

Gaussの定理：f=Ax,g=Ay,h=Az, と置き、Axl+Aym+Azn=An(AnはＡの法線成分）とすれば、（1）式は
∫∫∫v(∂Ax/∂x+∂Ay/∂y+∂Az/∂y)dV=∫∫s An dS　
=∫∫∫v{divＡ｝dV=∫∫s An dS　----（2）

Greenの定理(微分可能な2つの関数の場合）:f=φ∂φ/∂x, g=φ∂φ/∂y, g=φ∂φ/∂z, l∂/∂x+m∂/∂y+n∂/∂z=∂/∂n　を（1）に代入、それからφをψで置き換えて（1）に代入しその差をとれば、
∫∫∫v{φΔψーψΔφ｝dV=∫∫s(φ∂ψ/∂n-ψ∂φ/∂n）dS　--（3）

ということで、Gauss-Greenの定理（1）式はGaussの定理（2）とGreenの定理（3）になるのです。

更に面積分を線積分に変換するのがStokesの定理ですね。

適当だけど参考になるかな？

お礼

ありがとうございますとっても解りやすかったです。
最高です。