- 締切済み
線形代数
arrysthmiaの回答
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
像の定義によって、x∈Im f ⇔ ∃y∈V,x=f(y) ですね。 条件 f^2=f の下で ∃y,x=f(y) と f(x)=x が同値であること を示せばよいと思いませんか?
関連するQ&A
- 線形代数で困っています。
線形代数で困っています。 V:4次元線形空間 T:V→V:線形変換 s.t. 『dim(ImT)=3 、dim(ImT^2)=2、 dim(ImT^3)=1、dim(ImT^4)=1』 Tの指数は写像の合成の回数を表す。 【問題】 (1) KerT ⊂ ImF を証明せよ。 (2) ImT^2 = KerT+ImT^3 (ただし、+:直和)を証明せよ。 (3) TのJordan標準形を求めよ。 -------------------------------------------- (1)は以下のように示しました。 次元定理を使って、 dim(KerT)=n-dim(ImT)=4-3=1。 従って、dim(KerT) ⊂ dim(ImT) ←ここの議論はあっているでしょうか?? (2)はお手上げです。方針が見えません。 (3)はまず表現行列を求めるのは分かるのですが、 表現行列を求めるための基底がなんなのか分かりません。 ↑の次元の数(3,2,1,1)を行列にしても仕方がないですし。。 (1)が合っているかと、 (2)(3)に対してアドバイスをお願いしたいです。 どうかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像の問題です。
線形写像の問題です。 V:n次元実ベクトル空間 線形写像f:V→V f^k:k回写像 とするとき (1)任意の自然数kに対して Imf^(k+1)⊂Imf^k を示せ (2)dimImf^k=1⇒f^(k+1)=cf^k (cは実数)を示せ (1)はImf^kの元からkerf^(k+1)の元を引いて、fで写像させるとImf^(k+1)だからなのはわかるんですが、どのように証明を書いたらいいですか? (2)1次元の写像は1次元または0という意味ですよね? 任意にn次元ベクトルxをとる。 dimImf^k=1より、 f^kは行ベクトルで (a,0,…,0) (転置ベクトルで書いている)と表せる。 f^(k)x=(ax,0,…,0)となる これをfで写像すると、Imf^(k+1)は1次元または0次元になっていないようにしか思えないんですが… よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形写像 Imfについて
線形写像f:V→V’のとき ImfはVの部分空間になることを示せ. っていう問題が本に書いているのですが、解き方(方針)が全く分かりません。 方針を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数学についての質問です
現在大学生なのですが良く分からない問題があり困ってます。その問題は線形写像のところで、 「f(x+y)=f(x)+f(y)、f(k×x)=k×f(x)という線形写像の定義を前提として、この式がf(x+y)、f(x)、f(y)を-1倍した場合も成り立つことを証明しろ」 というものです。 2×2行列での証明はできたのですが、一般的な行列における証明ができません。 誰か解いてくれると助かります。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題で困っています。
U={F:V→W|Fは線形写像} とおき、 Vを3次元線形空間とし、{v1,v2,v3}を基底とする。 Wを2次元線形空間とし、{w1,w2}を基底とする。 このとき (1)Uは線形空間であることを示せ。 (2)Uの基底を一組求めよ。 (3){v1,v2,v3}、{w1,w2}を用いて同型写像を作ることにより、UとM(2,3)は同型になることを示せ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形写像と線形変換
線形写像と線形変換 V , W をK上のベクトル空間とする。このときベクトル空間Vからベクトル空間Wへの写像fが、 Vの任意の要素x,yに対してf(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fをVからWへの線形写像と言う。 これが線形写像の定義です。 別の記載では、R^n,R^mをk上のベクトル空間とする。このときベクトル空間R^n からベクトル空間R^m への写像f がR^nの任意の要素x,yに対して f(x+y)=f(x)+f(y),f(kx)=kf(x)を満たすとき、fを R^n からR^m への線形写像という。 ここで、テキストにはfがVからV自身への線形写像である時fを線形変換と呼ぶと記載されているのですが、 「VからV自身への線形写像」のイメージがあまりつきません・・・ 次元が同じ場合であれば線形変換?と思ったのですが間違いでしょうか? よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 条件f^2=fの下とは No3様のおしゃったとおりに一度写した写像を写そうとすると同じ点にいくと考えて定義にしたがって証明していけばいいということなのでしょうか・・? もう一度よく考えて見ます。ありがとうございました。