【フーリエ展開】f(t)=tを正弦級数に展開したいのですが

質問

f(t)=tを(0<t<π)で正弦級数に展開したいのですが、答え(bk)が合わず悩んでいます。答えは(2/n)*(-1)^(n-1)となっていますが、私の答えでは0になってしまいます。

まず確認したいのですが、正弦級数=bk=(2/T)∫(-T/2->T/2) f(t) sinkωt dt (ω=2π/T)という公式で合っていますか？

計算の仕方は、
(0<t<π)よりT=π-0=πでω=2、以上を上記の公式に代入。積分範囲はそのまま代入すると正しくないので0->πまでにしてしまう（これはいいのでしょうか？）あとは積分しました。普通の部分積分です。

詳しい解説希望です、よろしくお願い致します。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

前の質問を締め切られたので補足できませんでしたが
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4188987.html
A#1の解答の展開式は間違っていましたが
お気づきでしたか？

本質問にもどると
f(t)の波形から、平均値ao/2=π/2を差引いた波形は奇関数になりますので
偶関数項の係数は
ak=0 (for k≧1)
です。しかし、奇関数項のbnはゼロになりませんよ。

> bk=(2/T)∫(-T/2->T/2) f(t) sinkωt dt (ω=2π/T)という公式で合っていますか？
間違いです。

bk=(2/T)∫(0->T) f(t) sin(kωt) dt（ω=2π/T）
=(2/π)∫(0->π) t sin(2kt) dt（ω=2）
で計算して下さい。

お礼

その節はお世話になりました。
sin(x)^3=3*sin(x)/2 -sin(3x)/4の式ですよね、π/2を代入して検算してみると合わないので「おや」と気づきました。どうもです！

(2/π)∫(0->π) t sin(2kt) dt（ω=2）で、３回計算してみましたが、どれも-1/kという答えが出ました。答えが間違っていると言えるでしょうか・・？
実際に計算してみていただけませんか・・・！

回答No.3

info22

A#2の補足質問の回答
> f(t)=(π/2)-Σ[k=1,∞](1/k)についてですが、
(π/2)というのはa0でしょうか？、それとbkにsin2ktは掛けなくてよいのでしょうか・・・？

A#1で書いたはずです。
> 平均値ao/2=π/2を差引いた波形は奇関数になりますので
> ak=0 (for k≧1)
> bnはゼロになりませんよ。
そしてA#2で bk=-1/k (for k≧1)
ですから、A#2で書いたf(t)の展開式が得られます。

ao/2はf(t)の平均値です。(1/2)倍はk≧1の係数anを求める公式と同じ式に統一する為の意味しかありません。
なお、aoと書いたのはa0と書くと0がaの文字より大きくなって下付文字に見えないため、便宜的に下付のゼロを英字の小文字オー(o)で代用しているだけで他の意味はありません。

お礼

なるほど、a0=ao=πで、ao/2=π/2はf(t)=t (0<t<π)の平均値(面積的にも底辺×高さ/2=(π-0)×f(π)/2=π/2)であること。ak=0 (for k≧1) bk=-1/k (for k≧1)で総合すると、 f(t)=(π/2)-Σ[k=1,∞](1/k)sin2kt が解であること。実際プロットしてみたところ、元のf(t)=t (0<t<π)のグラフに近づくのが確認できました！

長くなってしまいました、ここまでお付き合いいただいて本当に感謝です。
プロットすると面白いことも学びました。引き続き精進します。
どうもありがとうございました！

回答No.2

info22

#1です。
> どれも-1/kという答えが出ました。答えが間違っていると言えるでしょうか・・？

bn=-1/k (k≧1)
が正解です。
提示の答が間違っていますね。

f(t)=(π/2)-Σ[k=1,∞](1/k)
となります。Σの項数を順に増やしてプロットすると
元の鋸歯状波のグラフに限りなく近づいていく事は確認済みです。

お礼

確認どうも有り難うございます！
プロットすると確実ですね、自分でもやってみようと思います。

info22さんには本当にお世話になっています。
引き続き精進します、ありがとうございました！

補足

f(t)=(π/2)-Σ[k=1,∞](1/k)についてですが、
(π/2)というのはa0でしょうか？、それとbkにsin2ktは掛けなくてよいのでしょうか・・・？