期待値（高校生レベル）

質問

(問)１と書かれたカードが１枚、２と書かれたカードが２枚、・・・、９と書かれたカードが９枚、計４５枚あります。
ここから、同時に６枚引くとき、カードの和の期待値を求めよ。

昨日友達から出された問題で、彼曰く、答えは「38」だと言っていますが、納得できず夜も眠れません。
誰か、納得のいく答えをお願いします。
あえてその解答をここに示さないのは、これから解く人の発想を妨げないためです。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

確かに 38 になると思います。
全てのカードを区別して考えたほうが考えやすいかもしれません。
数字のｎが書かれたカードはｎ枚ありますが、それらに、たとえば -1,-2,...,-nと記号を付けて区別してしまいます。つまり、
１と書かれたカードは１枚
２と書かれたカードは 2-1, 2-2 という２枚のカード
３と書かれたカードは 3-1, 3-2, 3-3 という３枚のカード
・・・
９と書かれたカードは 9-1, 9-2, 9-3, ..., 9-8, 9-9 という９枚のカード
と、同じ数字が書かれたカードを区別してみます。こうして区別してもしなくても、求めるべき期待値は変化しないはずです。

４５枚のカードから６枚のカードを抜き出します。そうすると、取り出すカードの組み合わせは 45Ｃ6 通り。
１枚カードを固定して、そのカードが取り出される場合の数は（残り５枚を取り出す組み合わせになるので）44Ｃ5 通り。
故に、それぞれのカードが６枚の中に含まれる確率は 44Ｃ5 / 45Ｃ6 = 6/45
ということで（くどいようですが）
１と書かれたカードが含まれる確率は 6/45
２と書かれたカード 2-1 が含まれる確率も 6/45
２と書かれたカード 2-2 が含まれる確率も 6/45
・・・・
どのカードも含まれる確率は 6/45
です。
故に、取り出される６枚のカードに書かれた数字の和の期待値は、
(6/45) ×1 + (6/45)×2×2 + ... + (6/45)×9×9
= (6/45) (1 + 2^2 + ...+ 9^2)
= 38

または、
やはり同じ数字のカードは上のように区別して、
どの６枚組みのカードも、その組あわせが取り出される確率は 1 / 45Ｃ6
期待値　＝　Σ（６枚組みの数字の和）/ 45Ｃ6　　　（加算は全ての組み合わせ）
　　　　＝（1 / 45Ｃ6）Σ（６枚組みの数字の和）　（同上）
（ここで６枚組みの数字の和を全ての組み合わせについてさらに加算すると、１のカードは 44Ｃ5 回加算、2-1, 2-2 カードもそれぞれ 44Ｃ5 回加算（つまり数字の２の加算結果は (2×44Ｃ5)×2) ... なので）
　　　　＝ (1 / 45Ｃ6) ( 1×44Ｃ5 + (2×44Ｃ5)×2 + ... + (9 × 44Ｃ5)×9 )
　　　　＝(44Ｃ5 / 45Ｃ6) (1 + 2^2 + ... + 9^2)
　　　　＝ 38

うまく伝わるかな・・・。

お礼

早く、そして洗練された解答、ありがとうございます。
おかげで、今夜はぐっすり眠れそうです。
分からないところ、及び怪しいところは、徹底的に質問しようと思っていたのですが、特に無く、質問を締め切ることにしました。
もしかしたらルール違反で、この質問、又はお礼内容が削除されてしまうかもしれないけど、感想を少し。
僕は、2つめの解答の方が好きでした。（注；決して1つ目のほうが納得できなかったわけではありません）
今僕は大学院生で(数学専攻)、数学の問題に対する姿勢としては、人に聞くものではなく、自分でとことん考えるものだと思っていますが、今回は聞いてしまいました。
考えてみて、どうしても分からないときは、またお世話になるかもしれませんが、そのときはよろしくお願いします。