確率・何度やっても同じ間違いをしてしまいます。

質問

復習をしていたところ、初めてやったときと全く同じ間違いをしてしまい困っています。

問
サイコロを2個振って出た目の合計が4になる確立を求めよ。

解説
合計が4になるのは（1.3）（3.1）（2.2）の3通りなので3/36=1/12

自分なりの解き方
合計が4になるのは（1.3）（3.1）（2.2）の3通りなので、3/6×3/6=1/4

と考えました。昔のノートを見返すと、初めてこの問題をやった時も、やっぱりこう計算していました。ま、それはいいとして。

なぜ1/4が不正解で、1/12が正解だと、見極めがつくのですか?正解とされている1/12は、たまたまこう解いたらこの数字がでたってだけで、正解かどうかまではわからないですよね。

1/4が不正解な理由として、合計4になるためには、1が出たとしたら次は3しかないから、3/6の次に3/6をかけるのは違う、という説明を受けたことがありました。しかし、それぞれ3パターンある以上3パターン分かけるべき、と僕は考えました。

宜しくお願いします。

回答No.4

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞
1/4が不正解な理由として、合計4になるためには、1が出たとしたら次は3しかないから、3/6の次に3/6をかけるのは違う、という説明を受けたことがありました。しかし、それぞれ3パターンある以上3パターン分かけるべき、と僕は考えました。

なるほど。
しかし、それぞれ３パターンはありません。

（２個同時に振るのと、１個目を振ってから２個目を振るのとは同じなので、後者の考え方をすることにします。）

こう考えてください。

（あ）
１個目が１（１通り）である確率は、１／６。
それに対して２個目は３（１通り）でなくてはいけないので、１／６。
よって、（１，４）の確率は１／６×１／６。

（い）
１個目が２（１通り）である確率は、１／６。
それに対して２個目は２（１通り）でなくてはいけないので、１／６。
よって、（２，２）の確率は１／６×１／６。

（う）
１個目が３（１通り）である確率は、１／６。
それに対して２個目は１（１通り）でなくてはいけないので、１／６。
よって、（３，１）の確率は１／６×１／６。

（あ）～（う）の合計は、
１／６×１／６　＋　１／６×１／６　＋　１／６×１／６
　＝　３×１／６×１／６
これが答えです。

確率１／３６のパターンが３つあるという意味では、
３×（１／６×１／６）
ですし、

１個目は１～６のうちの１～３（３通り）でなければならず、
２個目は、１に対して３、２に対して２、３に対して１で各１通り
という意味では、
（３×１／６）×１／６
です。

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もっと簡単な問題で考えてみますか。

「しかし、それぞれ3パターンある以上3パターン分かけるべき、と僕は考えました。」
に焦点を当てます。

【問題】
コインを２枚投げて、表と裏が１枚ずつになる確率を求めよ。

＜正答例１＞
１枚目は表（１／２）でも裏（１／２）でもよい。
つまり、１／２ が２つ。
１／２ ＋ １／２　＝　１
（あるいは、２ × １／２　＝　１）
２枚目は、１枚目が表なら表、１枚目が裏なら裏、つまり、どちらにしても１／２
１×１／２　＝　１／２（＝答え）

＜正答例２＞
（表、裏）（裏、表）の２通りなので、２／４　＝　１／２（＝答え）

「しかし、それぞれ２パターンある以上２パターン分かけるべき、と僕は考えました。」
で行くと、
２／２　×　２／２　＝　１（＝誤答）

この説明でどうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

皆様からいただいたコメントを読み、新たに考え直していたら、今度は３／６×１／６×３＝１／４、という考えが浮かんでしまい、わかったような気はしてもオロオロだったのですが、今回の（あ）～（う）を読み、やっとわかりました。

しかし、今回に限ってはわかったとしても、別の問題できちんと応用できるかというと心配でなりません。

回答No.7

higekuman

#1です。

> ３／６×１／６×３＝１／４　この式を使っても、やっぱり１／４になってしまうのですが…。　

最後に3を掛けているのはなぜですか？
1つ目のさいころの目が1,2,3のどれかになる確率は、3/6。
1つ目のさいころの目が1,2,3のどれかの場合に、2つ目のさいころの目が、2つ足して4になる目になる確率は、1/6。
この2つを掛けるだけで、答えは求められるはずです。

これに更に3を掛けているのは、たぶん、それが3通りあると思っているからなのでしょうけど、その考え方は、3/6を導き出す時点で既に導入されています。

確率は、ある条件の場合の数／すべての場合の数、になるのはご存知のとおりです。

3/6という数字を出している時点で、1つ目のさいころに対して、ある条件の場合の数／すべての場合の数、の処理をしています。
1/6という数字も、2つ目のさいころに対して、同様の処理をしています。

だから、もう3を掛ける必要はありません。

3という数字は、足して4になるのは1&3,2&2,3&1という3つの場合があるから、という数字です。
その場合は、分母にはすべての場合の数の36(1&1,1&2,・・・,5&6,6&6)がきます。

今回の問題の場合、答えの求め方は2つあります。
1つは、それぞれのさいころについて確率を求め、掛ける。
⇒　3/6×1/6＝1/12
もう1つは、1つ1つ考えないで、2つのさいころの目で確率を求める。
⇒　3/36＝1/12

質問者様は、確率を求めるのと、場合の数を求めるのが、ごっちゃになっているようなきがします。

お礼

またの書き込みをありがとうございます。

＞その考え方は、3/6を導き出す時点で既に導入されています。
＞3/6という数字を出している時点で、1つ目のさいころに対して、あ＞る条件の場合の数／すべての場合の数
＞だから、もう3を掛ける必要はありません

今回は、すっきり頭の中に入ってきましたので、大丈夫だと思います。今のこの感じを忘れないよう、また何度も復習しようと思います。

回答No.6

Quattro99

1/12が正解であることは、正しい解き方をしない限りわからないのではないかと思います。

1/4が不正解であることは、明らかに大きすぎるのですぐにわかります。合計が他の値である場合を考えると、具体的に計算せずとも確率の合計が1を越えてしまうだろうと想像できます。
また、具体的に計算しようとして合計が7の場合をその解き方で計算すると6/6×6/6=1となってしまい、明らかにおかしいとわかります。

> それぞれ3パターンある
これが間違いです。「それぞれ」3パターンではありません。
1つ目のサイコロの目は1、2、3の3パターンありますが、そのそれぞれに2つ目が3パターンあるわけではありません。1つ目のサイコロが1だった場合は2つ目は3の1パターンしかありません。
従って、1つ目の3パターンに対して2つ目はそれぞれ1パターンということになり、3/6×1/6=1/12となります。

お礼

ありがとうございます。

＞「それぞれ」3パターンではありません。
つまり、ここが引っかかっていたということですね。

今回に限ってはもう大丈夫だと思います。しかし、いざ別の問題で、きちんと応用できるかというと、ちょっと心配ですね。

回答No.5

leap_day

こんにちは

＞なぜ1/4が不正解で、1/12が正解だと、見極めがつくのですか?

片方の値を決めたとき、もう一方の値が自動的に1つしかない場合にはその片方の確率（この場合サイコロを振って1つの数字が出る確率は1/6なので)1/6より大きくなることはまずありません

仮に片方のサイコロをＡ，もう片方をＢとすると
Ａが「１」のとき、Ｂは「３」のみ
Ａが「２」のとき、Ｂは「２」のみ
Ａが「３」のとき、Ｂは「１」のみ

と合計が「４」になるのはこの3通りしかありません

で、全部の組み合わせは
Ａが「１」のとき、Ｂは｛１，２，３，４，５，６｝の6通り
Ａが「２」のとき、Ｂは｛１，２，３，４，５，６｝の6通り
・・・
Ａが「６」のとき、Ｂは｛１，２，３，４，５，６｝の6通り
となり全部の組み合わせの数は 6*6 = 36通りになります

この36通りの組み合わせの中で合計が「４」になるのが3通りなので
3/36 = 1/12
となります

なので
（考えられる組み合わせの数）　/　（全部の組み合わせの数)
となります

別の考え方で言うと
(考えられる組み合わせの数)　* (Ａのサイコロで数字が出る確率)　*　(Ｂのサイコロで数字が出る確率)
という考え方でもいいです

＞それぞれ3パターンある以上3パターン分かけるべき
こちらの場合は
サイコロを2個振って出た目の合計が4　『以下』　になる確率を求めよ。
になります

Ａが「１」のとき、Ｂは｛１，２，３｝のどれか
Ａが「２」のとき、Ｂは｛１，２，３｝のどれか
Ａが「３」のとき、Ｂは｛１，２，３｝のどれか

という風に片方を決めたときにもう片方が１つに決まらない場合、逆に今度はその片方の確率、1/6より小さくなることはありません

「４以下」になる組み合わせ・・・3*3=9通り
全体の組み合わせ・・・6*6=36通り

「4以下になる確率」
9 / 36 = 1/4

お礼

ありがとうございます。

＞（考えられる組み合わせの数）　/　（全部の組み合わせの数)
数字でなくて日本語にすると、少し霧が晴れた感じがしますね!!

回答No.3

AKUMA00

「3/6×3/6=1/4」
なぜこれが不正解かは例を挙げれば簡単です。
左の3/6は1回目のサイコロが１～３、右はの3/6は2回目のサイコロが１～３の目を出すときと考えているのでしょう。

しかしこれでは1回目が「３」で、2回目に「３」がでる可能性があります。
同じく、1回目が「１」で2回目に「１」がでる可能性もあります。

私の考え方としてはこうです。
二回サイコロを振ったときの結果は３６通り。
そのうち、一回目で４にならないのは１～３の目。
それぞれ合計が４になるのは１つしかないから、3/36＝1/12。

これでいかがでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

＞しかしこれでは1回目が「３」で、2回目に「３」がでる可能性

ここでおっしゃりたいことは、わかるような気がしました。

しかし、この書き込みを読み、新しい考えが浮かんできてしまいました。３／６×１／６×３＝１／４

回答No.2

zaisai

サイコロ　AとBを振って出る組み合わせを全部書いてみましょう。
A　1　B　1
A　1　B　2
...
A　6　B　5
A　6　B　6

そして　確率を考えてみましょう。

お礼

ありがとうございます。

こうして、書いてみると、確かに分子が３となるのは理解できます。しかし、実際、計算で解こうとすると、やっぱり正解とは違う答えがでてしまいます。

回答No.1

higekuman

3/6×3/6だと、片方が1,2,3のどれかで、もう片方も1,2,3のどれかが出る確率になります。
なので、1&1,1&2,1&3,2&1,2&2,2&3,3&1,3&2,3&3の9パターンが当てはまることになります。
9/36=1/4
3/6×3/6=1/4

お礼

早速のコメントをありがとうございます。

＞1&1,1&2,…

ここでおっしゃりたいことは、わかるような気がしました。

しかし、この書き込みを読み、新しい考えが浮かんできてしまいました。３／６×１／６×３＝１／４　この式を使っても、やっぱり１／４になってしまうのですが…。