平面と点の最短距離

質問

ある平面と点の最短距離を計算するプログラムを作成したいのですが、計算方法がわかりません。

平面はXYZを持った4点で定義されており大体長方形になっています。
最短距離は、この長方形の範囲内にぶつけるような形で求める必要があります。

数学の知識に乏しい為、なるべく簡単な方法を教えて頂けると助かります。
宜しくお願い致します。

回答No.4

inara1

＞4点から求める平面は、無限に広がる平面ではなく、4点から成る壁というイメージです
その壁というのは、４点を頂点とする概略長方形になっているのでしょうか（壁は１枚？）。もしその平面がその４点の内側に限定されているとき、ある点からその平面に下ろした垂線の足が平面上に来ないこともありますが・・その場合の距離はどう定義するのでしょうか（無限の平面なら垂線の足は必ず存在するので距離は決まりますが）。

なんだか分からなくなってきました。もう少し具体的に説明してもらえないでしょうか。

回答No.3

inara1

ANo.2です。
ご質問の4点とは、位置の測定値で、その4点から平面を決め、第5の点とその平面との距離を出したいということでしょうか。それでしたら少々お待ちください。

補足

ご回答いただきありがとうございます。

＞ご質問の4点とは、位置の測定値で、その4点から平面を決め、第5の点とその平面との距離を出したいということでしょうか
4点から求める平面は、無限に広がる平面ではなく、4点から成る壁というイメージです。
その壁と任意の点との最短距離を求めようとしています。

回答No.2

inara1

趣味でグラフィックスをやっているものと思います（こんな問題は出るはずがないので）。
式の導出は必要ないと思いますので結果だけ書きます。

平面を決める３点の座標が
　　　( x1, y1, z1 )、( x2, y2, z2 )、( x3, y3, z3 )
のとき、この平面と点( x0, y0 , z0 ) との最短距離 L は以下のようになります。

（１）　( y2- y3 )*x1 + ( y3 - y1 )*x2 + ( y1 - y2 )*x3 ≠ 0 の場合
　　　　　L^2 = ( x - x0 )^2 + ( y - y0 )^2 + ( z - z0 )^2
　　　　　x = ( ( b^2 + c^2 )*x0 - a*b*y0 + a*c*z0 )/( a^2 + b^2 + c^2 )
　　　　　y = ( - a*b*x0 - ( a^2 + c^2 )*y0 - b*c*z0 )/( a^2 + b^2 + c^2 )
　　　　　z = - ( a*x + b*y )/c
　　　　　a = -( ( z2 - z3 )*y1 + ( z3 - z1 )*y2 + ( z1 - z2 )*y3 )/d
　　　　　b = ( ( x2 - x3 )*z1 + ( x3 - x1 )*z2 + ( x1 - x2 )*z3 )/d
　　　　　c = ( ( y2- y3 )*x1 + ( y3 - y1 )*x2 + ( y1 - y2 )*x3 )/d
　　　　　d = ( y2*z3 - y3*z2 )*x1 + ( y3*z1 - y1*z3 )*x2 + ( y1*z2 - y2*z1 )*x3

（２）　( y2- y3 )*x1 + ( y3 - y1 )*x2 + ( y1 - y2 )*x3 = 0 の場合
　　　　　L^2 = ( a*x0 + b*y0 - 1 )^2/( a^2 + b^2 )
　　　　　a = -( ( z2 - z3 )*y1 + ( z3 - z1 )*y2 + ( z1 - z2 )*y3 )/d
　　　　　b = ( ( x2 - x3 )*z1 + ( x3 - x1 )*z2 + ( x1 - x2 )*z3 )/d
　　　　　d = ( y2*z3 - y3*z2 )*x1 + ( y3*z1 - y1*z3 )*x2 + ( y1*z2 - y2*z1 )*x3

（１）の x, y, z は点( x0, y0 , z0 ) から平面に下ろした垂線の足の座標になります。
（２）は平面がz軸に平行な場合に相当するので、直線 a*x + b*y = 1 と点( x0, y0 ) との距離になります。このときの平面に下ろした垂線の足の座標は
　　　　　x = ( b*( b*x0 - a*y0 ) + a )/( a^2 + b^2 )
　　　　　y = ( -a*( b*x0 - a*y0 ) + b )/( a^2 + b^2 )
　　　　　z = z0
になります。a^2 + b^2 = 0 となるのは、平面を決める３点のうち２点が同じ点にある場合ですので、平面が決まらず、距離も決まりません。

上の結果は数式処理ソフトで計算したものです。式をコピー・ペーストできるように、カッコは全部半角の ( ) にしてあります（式の先頭は全角スペースなので注意）。

なお、質問文に「平面はXYZを持った4点で定義されており」とありますが、この４点が同一平面上にあるためには、４点全ての座標が a*x + b*y + c*z = 1 を満足していなければなりません。３点の座標から a, b, c が決まりますので、残る４点目の座標が a*x + b*y + c*z = 1 を満足していれば、４点は同一平面上にあります。

回答No.1

koko_u_

>数学の知識に乏しい為、なるべく簡単な方法を教えて頂けると助かります。
そんなん言われたら誰も回答できんがな。

一体、どうやって回答の妥当性を確認するつもりだったんですか？
あなたの数学的知識の度合いがわかる何かを補足にどうぞ。

補足

失礼いたしました。

>一体、どうやって回答の妥当性を確認するつもりだったんですか？
計算結果を基に、CADソフトで実際の図形を描いて確かめてみるつもりでした。

>あなたの数学的知識の度合いがわかる何かを補足にどうぞ。
高校数学レベルから勉強をやり直しているところでした。
参考書を一通り読み終わり、実際に問題を解きながら復習しているようなレベルです。