交流の波形

質問

標記については、一般的には正弦波、sinカーブとよく言われますが、これは、
電磁誘導の法則から、誘導起電力を導き出すことにより、sinθが入った計算式になることから言われているものですが、これはあくまで電圧の発生を表すものであり、電流についてはわかりません。

ここで、コンデンサだけの回路を考えてみると、起電力（電圧）の時間的な変化の割合を求めることにより電流について導き出すことができます。
しかし、コイルだけの回路については、電流を正弦波として、電流の時間的変化を求めることにより電流を導き出すことになります。つまり、なぜ電磁誘導では起電力（電圧）が正弦波になるというだけなのに、電流についても同様に仮定することができるのでしょうか。
簡単になるかどうかわかりませんが、交流の場合の電流がなぜ正弦波になると仮定して、電圧を求めることができるのかということです。

疑問点がおわかりになりますでしょうか。

回答No.7

noname#101087 · ベストアンサー

>「逆起電力から逆算してみれば、」というのは、
>　i(t)=-[E/(ωL)]*cos(ωt)
>のようにならないと、
>　L*(di/dt) 式から、
>　正弦波電圧 E*sin(ωt)
>にならないということですか。
>　L*(di/dt)＝e(t)　から　i(t)を問くということではないのでしょうか。

そのとおりです。
　L*(di/dt) = E*sin(ωt)
の関係から i(t) を求めれば良い、ということです。
求めた結果が、
　i(t)=-[E/(ωL)]*cos(ωt)
です。

小ウルサく言えば、初期条件(t=0 において ..... )がスッポリ抜けてますから、
定常状態の話なのですが。

回答No.9

BASKETMM

mounanndem さん
丁寧に解説して下さり、恐縮です。
色々な回路があるので、例として、R,L,Cが一個ずつ直列に接続している
回路を考えます。すると各部の端子電圧の和が電圧に等しいので、
. L(d*i/dt*) + R(di/dt) + i/C = v sin(wt)
となることは、私も分かります。
この２階微分方程式の解は
. i = A sin(wt-phi) + B exp(-rt) + C exp(-pt)
と言う形をしています。時間 t が大きくなると第二項、第三項は急激に
小さくなります。そのため A sin(wt - phi) が定常解として残ると私は
理解いたしました。（各常数 A,B,C, phi, r,p は L,R,C の関数）
従って、与えられた電圧が正弦波でも、電流にはエクスポネンシャルな
成分が混ざっており、正弦波ではありません。定常波だけを考えると
電流は正弦波であるといえますが、これは微分方程式からの結論であり、仮定ではないのです。
私は間違っているでしょうか。

お礼

大変遅くなりました。
RLCの直列回路については、勉強したことはありますが、
微分方程式の解についてまでやったことがありません。
私が質問していたことは、単純な回路（単独回路）ですので、上記のことについては、別途専門の方にお質問いただくのが良いかと思います。

私が思いますに、ご指摘のとおり
このような複雑な回路になれば、単純な正弦波交流にはならないでしょうね。

回答No.8

BASKETMM

恐れ入りますが、一緒に勉強させて下さい。どうも問題がハッキリ理解できません。
１．この問題は、電圧と回路を与えられて、電流を求めるのですか。
２．電流を求めるのに、電圧を単に複素インピーダンスで割ればよいのですか。
３．電圧を正弦波で与えられているのは、この問題での仮定にすぎませんよね。一般には、電圧が何時も正弦波であるとは限りませんよね。
４．電圧として、時間を変数とする正弦波が与えられているというのは、定常状態を考えているのですね。
５．回路図を見てインピーダンスを計算する必要もあるのですか。

お礼

これは、交流回路の基礎の勉強になるかと思います。
正弦波交流の回路において、
電圧は一般的には　Emsinωt　となりますので
抵抗だけの回路、コンデンサだけの回路、コイルだけの回路において
電圧と電流がどのような関係になるのか考えるものです。
抵抗については、I=E/R　から、電流と電圧は同相になる
コンデンサについては、i＝C*de/dt　から90度の進み電流が得られるとわる。
コイルについては、　e＝L*di/dt　から90度の進み電圧が得られるとなるのですが、仮定では正弦波交流として電圧を定義しただけで電流の定義はされていないのに、電流についても正弦波になるという根拠があるのかというところに疑問がありました。
いろんな方に御回答いただいたいるとおり、正弦波交流において
正弦波の電圧が得られるためには、電流においても正弦波にならないと
おかしいという逆の発想から、そのように定義することが可能で、また
その仮定の元での計算が正しい事から、その定義の仮定も正しいと言う事になります。

ご質問のとおり交流は正弦波だけではありませんが、ここでは正弦波に限定して話をさせていただいています。

回答No.6

noname#101087

>正弦波計(波形?)のとき、電流も正弦波になるというのはどのように説明、理解すればよいでしょうか？
........
>e＝Sinωｔ　として、微分方程式を解けばいいと言うことですかね。

コイルに正弦波電圧 E*sin(ωt)を加えると、これとバランスする逆起電力を発生させることになってますね。
線型モデルの定常状態では、その逆起電力の大きさは
　L*(di/dt)
ということです。

逆起電力から逆算してみれば、
　i(t)=-[E/(ωL)]*cos(ωt)
の電流が流れないと、想定モデルのつじつまが合いません。

お礼

ありがとうございます。
「逆起電力から逆算してみれば、」というのは、
　i(t)=-[E/(ωL)]*cos(ωt)
のようにならないと、
　L*(di/dt)
式から、
　正弦波電圧 E*sin(ωt)
にならないということですか。
　L*(di/dt)＝e(t)　から　i(t)を問くということではないのでしょうか。

回答No.5

Denkigishi

ＮＯ４様の回答文で十分説明されていると思うのですが、質問者は式にこだわっておられるので、式を書いておきます。
e＝L・di/dtを解くと、i=Em/L∫sin(ωt－θ）＝－Em/ωL・cos(ω-θ)

お礼

こだわってすみません。
単に、e＝Sinωｔ　として、微分方程式を解けばいいと言うことですかね。電流を微分するのでなく、電圧を積分すると・・・・

回答No.4

foobar

正弦波は微分しても積分してもやはり同じ周波数の正弦波(位相や振幅は変わるけど）になります。また、通常よく扱う電気回路は線形なので、単一周波数の正弦波を加えたときには、どこの電圧も電流も全て同じ周波数の正弦波になります。
ということで、「電圧や電流はある単一周波数の正弦波」という前提を置けば、回路の定常的な挙動を扱い易くなります。

（現実の交流回路では、正弦波でない電圧が加わったり正弦波でない電流が流れたりする例はゴロゴロしてますが）

お礼

わかりやすいご回答ありがとうございます。
現実の回路を考えると、難しいですので、電気の入門としては正弦波を考えるべきかと思います。
その上で、電圧も電流も正弦波になるという前提で進むべきもので、こだわり過ぎかと思いますが、
電圧については、フレミングの右手の法則から正弦波というイメージが描ける式が導かれます。
電流についても正弦波というイメージを描ける式、法則はありませんでしょうか。

抵抗の回路を元に、遅れ、進みは追いといて、電流も正弦波になるんだよというイメージを植え付けるのがいいのでしょうか。

回答No.3

himara-hus

＃２です。
お分かりかと思いますが、θ＝ｗｔです。
書き忘れたので、追記しておきます。

回答No.2

himara-hus

＞正弦波計のとき、電流も正弦波になるというのはどのように説明、理解すればよいでしょうか？

　どこまでわかって、どこが疑問か良くわからないのですが。
　とりあえず、書いときますので、何かあれば追加質問してください。

　それぞれの部品の両端にかかる電圧を　e＝Ｅmsinθ　とすると

　i=e/R=(1/R)*Ｅmsinθ　(抵抗）
　i=e/jwL=(-j/wL)*Ｅmsinθ　(コイル）
　i=e/(1/jwC)=(jwC)*Ｅmsinθ (コンデンサ）

お礼

ありがとうございます。
言葉足らずで申し訳ありません。
e＝Ｅmsinθ　については、理解できております。
次に抵抗だけの回路については、I＝e/R　で求められます。
これにより電流は電圧と同相
コンデンサだけの回路については、Ｉ＝ΔＱ/Δｔ＝C・Δe/Δｔ　で求められます。電流は電圧より９０°進む
このため、これらの電圧と電流の関係については、電圧から電流を求めるのに対し、
コイルの場合は、誘導起電力(逆起電力）が、e＝-v＝L・Δi/Δt　で求められることから、電流から電圧が求められるようになっており、電流が必要になります。電流は電圧より９０°遅れる
このコイルの場合における電流と電圧の関係を電圧を元にして電流を求めることはできるのでしょうか。

回答No.1

outerlimit

過渡状態　と　定常状態　が混乱していませんか

定常状態について論じていながらいつの間にか過渡状態　そのうちまた定常状態・・・・

定常状態について確実に理解してください

定常状態の理解が不十分で過渡状態が入ってくると訳がわからなくなります

お礼

ありがとうございます。
過渡状態と定常状態という状態別ではなくて、
単に、交流の単純回路を勉強するときに
Ｒだけの回路、Ｃだけの回路のときは、e＝Ｅmsinθとして電流を求める
のに対し、Ｌだけの回路のときは、i＝Ｉmsinθとして電圧を求めます。
このとき、交流を勉強するときに、起電力としてe＝Ｅmsinθを学びますが
電流については、特に触れられることはありません。
正弦波計のとき、電流も正弦波になるというのはどのように説明、理解すればよいでしょうか？