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sinaiのビリヤードとは?
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ご推測の通り,統計力学の話で エルゴード問題に関連したことです. 長方形領域の中に障壁を置いておきます. 障壁は凸であるという条件がついています. 障壁の数は1個でなくてもっとあっても良かったような気がしますが そこはちょっと自信がありません. で,1個の質点が長方形の壁と障壁の間を完全弾性反射しながら 動くというものです. もちろん,空気抵抗や転がり抵抗の類は一切ないものとしています. まさに,理想的ビリヤードですね. そうすると,質点の速度の大きさは変化しませんから, 質点の位置と速度の方向のみが変数になります. すなわち,統計力学の相空間は位置と速度の方向で記述されます. この相空間での質点の運動がエルゴード的であることを Sinai が示したので,Sinai のビリヤード問題と言われています. 位相空間での運動がエルゴード的とは, 荒く言えば,位相空間での軌道が位相空間を満遍なく埋め尽くす ということを言います. もっとくだいて言えば,同じところばかり行ったり来たりして, 行かないところ(あるいは,滅多に行かないところ)があってはダメ ということです. 他にもエルゴード性が示されているビリヤードがあったと思いますが 今はちょっと思い出せません.
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- siegmund
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> スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、 > エルゴード性が示されていたと思います. ぎくっ,また背中に冷や汗がたら~....(^^;) はい,スタジアム型でした. どうも,恐れ入りましたね. 学会出たときのメモなど引っ張り出してちょっと調べたら, 円や楕円ではエルゴード的にならないらしいです. 最近の微細加工技術の急速発展は驚くべきもので, ちょっとぼんやりしていると 「え,そんなことできるの?とても信じられん」 になります. > 私が調べる限りどんな本にも載ってませんでした > よろしくお願いします > sinaiのビリヤードでどんな分厚い辞書で調べてもなかったものですから こういうの好きだな~. そこらへんの本見ればすぐわかるようなのは,どうも力が入らん. いや,もちろん私が答えられることなんて, たかが知れていますが. エルゴード理論関係のことは, 普通の統計力学のテキストには余り載っていません. もちろん基礎論として大事なんですが, テキストの他の部分(例えば,量子統計,相転移,ブラウン運動,線型応答) などと比べると,非常に異質な感じになってしまうからでしょうか. 量子力学のテキストに観測の問題が余り載っていないのと, 感じは似ていますね.
お礼
いきなり回答を締め切らなくてよかったです 大事な話なのに本に載せないってのはちょっと問題ありですね
- stomachman
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蛇足です。 スタジアム型、つまり二つの半円で長方形を挟んだ形の場合も、エルゴード性が示されていたと思います。結晶表面にこの形の障壁を作り、電子波を泳がせた実験もなされていたんじゃなかったっけか。 「エルゴード仮説」って、なんだか怪しげで実に良いですね。
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