２項展開の一部？

質問

次の計算って、手でできるものでしょうか？

ｎが３以上の整数としたとき、
Σ_{i=0}^{int(n/2)-1} combin(n-2-i,i) * (2/9)^i * (1/3)^(n-2-2i)
を計算すると、どうやら
(2/3)^(n-1) - (-1/3)^(n-1)
になるらしいのです。（ある程度のｎに対してまで、Excelで一致することを確認）

これは、表が出る確率2/3のコインを何回も投げたときに、ちょうどｎ回目ではじめて２回連続表が出る確率を求める問題において、
当初の解法は、「ｋ回目で裏が出てしまい、かついまだ２回連続で表が出ていない」という確率をp(k)として、３項間漸化式 p(k) = (1/3) * p(k-1) + (2/9)*p(k-2) を解いてもらおうと思っていた（求める答えは(4/9)*p(n-2))のですが、別解として、
（表裏）というカタマリと（裏）というものを適当に並べて都合「表」と「裏」を合計n-2個書き並べ、そのあとに「表表」とする
という解法もできることが判明しました。（ある受験生の答案から）
この解法によると、（表裏）をi個、（裏）をj個並べるとすると、
2i+j=n-2, i>=0, j>=0より、0<=i<=(n-2)/2（かつiは整数なので、i<=int(n/2)-1）
また表裏をちょうどi個使う方法は、combin(i+j,i)通り・・・ということからはじめの式が出てきます。（求める答えははじめの式に、最後２回が連続表がでる確率4/9を乗じたもの）

はじめの式を式変形で解けるというならご教示ください。この試験の採点を日曜日中にしてしまう必要があり、急いでいます。よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

f(n)=(1/3)((2^(n-1))-(-1)^(n-1))
s(n) =Σ{i=0～floor(n/2)-1}((n-i-2)Ci) (2^i)
とするとき
∀n≧3; f(n)=s(n)
を導け、ってことですね。面白い公式だなあ。（floor(x)はxを越えない最大の整数、pCq はp個からq個を選ぶ組み合わせ、の意味です。）
　Combinationの2つのindexが逆向きに走るような母関数って言いますと、
cos(nx) = (1/2) Σ{r=0～floor(n/2)}(n/(n-r)) ((-1)^r) ((n-r)Cr) ((2 cos x)^(n-2r))
や
2sin(nx)/tan x= Σ{r=0～floor((n-1)/2)} ((-1)^r) ((n-r-1)Cr) ((2 cos x)^(n-2r))
を思いつきますが、項の符合が毎回反転するんじゃダメですね。この方向ではどうも一筋縄では行かない気がする。
　この公式が「表が出る確率2/3のコインを何回も投げたときに、ちょうどｎ回目ではじめて２回連続表が出る確率を求める問題」に帰着すれば証明できるのは、設問から（どうやら）明らかですが、それじゃ点数はつけられないから「式の変形で」、というご注文なのでしょう。でも「公式として暗記してた」って言われたら？

　多分（いわゆる「式の変形」じゃなくて）漸化式に帰着しても簡単に証明できるでしょう。そしたら、「公式として暗記してた」ものとみなして点をやる。時間が限られている以上、これしかないのでは？

補足

もともとは、マルコフ連鎖型の確率を求める問題として、
状態０：いまだ２回連続表が出ておらず、直近で裏が出た
状態１：いまだ２回連続表が出ておらず、直近で表が出た
状態２：２回連続表が出たことがある
という状態を考え、ｎ回目が終わったときに状態０および１にある確率をそれぞれa(n), b(n)とおいて、
a(n+1)=(1/3)*{a(n)+b(n)}, b(n+1)=(2/3)*a(n), a(0)=1, b(0)=0
を解けば、このa(n)がはじめに書いたp(n)と一致し、解ける・・・という想定です。

＞多分（いわゆる「式の変形」じゃなくて）漸化式に帰着しても簡単に証明できるでしょう。
なるほど、確かに、f(n)=s(n)なら、s(n)をf(n)が満たす漸化式の両辺に代入してやると等号が成立する、という寸法ですか？ただ、これはs(n)の式を見てそこから自然に流れる解法なのかどうか・・・？その後の計算が困難な立式を立てられた場合、いくらその式が正しくても、答えにたどりつけない式ということで、立式分の部分点は全部はあげられないと（個人的には）思っています。
この件については、他の採点者とも意思疎通を図り、統一的な採点基準を設けることで対処したいと思います。ありがとうございました。

ただ、この両者を結ぶ式変形の方法としては、私も興味があるので、もう少し考えてみたいと思います。(^^)

ちなみに、どうやらこの問題には他にも別解がありまして、
求める確率をp(n)としたときに、n>=3のとき
「最後の３回が必ず（裏表表）となること」に着目して、
p(n)=「(n-3)回目まででまだ２回連続表が出ていない確率」*(1/3)*(2/3)*(2/3)
「」の確率は、1-P((n-3)回目までで２回連続表が出る)
=1-Σ(i=0(2でもOK)～(n-3))P(i回目ではじめて２回連続表が出る) = 1-Σ(i=0～(n-3))p(i)
よりp(n)=(4/27)*{1-Σ(i=0～(n-3))p(i)}...(*1)(n>=3)
(*1)のindexを１つ減じてp(n-1)=(4/27)*{1-Σ(i=0～(n-4))p(i)}...(*2)（n>=4)
(*1)-(*2)より p(n)-p(n-1) = -(4/27)*p(n-3) (n>=4)
という漸化式が立てられます。この特性方程式 t^3-t^2=-4/27 は、(t-2/3)(t^2-(1/3)x-(2/9))=0 より、
{p(n)-(1/3)*p(n-1)-(2/9)*p(n-2)} = (2/3)*{p(n-1)-(1/3)*p(n-2)-(2/9)*p(n-3)}
と式変形ができます。ここで、p(3)-(1/3)*p(2)-(2/9)*p(1)=0が初期条件からいえ、結局 p(n)-(1/3)*p(n-1)-(2/9)*p(n-2)=0 に帰着できます。。。

ということで、p(n)=(4/27)*{1-Σ(i=0～(n-3))p(i)}...(*1)(n>=3)の式を立てた答案には、p(n)=(1/3)*p(n-1)+(2/9)*p(n-2)を立式した分の半分程度を与えることとしました。（その後の式変形ができてなかったので、立式分全部はあげたくなかったのです）