• 締切済み

ランダウのオーダー記号

0<α<1に対して|x|^α=o(x) (x→0)を示したいのですが、 lim_[x→0](|x|^α)/x=∞ となので成立しませんが、示したい命題は正しいと学校で言われました。一体どうすればいいですか?皆さんのお知恵をお貸しください。

みんなの回答

回答No.1

(|x|^α)/x=(|x|/x){1/|x|^(1-α)}→0 ではないでしょうか

関連するQ&A

  • ランダウの記号

    ランダウの記号について初歩的な質問をさせていただきます。まず、  lim[x→a] f(x)/g(x) = 0 のとき、 f(x)=o(g(x)) (x→a) とかき、o( ) をランダウの記号という。  また、ランダウを記号を含む等式は、右辺で左辺を評価することを表す。 私はこのように理解しているということを記しておきます。 (1) cos(x) = 1+o(x) (x→0) は、 1+o(x) で cos(x) を評価するということを表しているのだと思いますが、" 1+o(x) で cos(x) を評価する"ということの意味が分かりません。 (2) o(x^2) = o(x) も(1)と同様に、 "o(x)でo(x^2)を評価する"ということの意味が分かりません。 (3)ランダウの記号に対して四則演算が成立する意味が分かりません。例えば、lim[x→0] x^m*o(x^n)/x^(m+n) = 0 といった具合です。ランダウの記号は「評価すること」を表すのであって、「何らかの数(0,1といったもの)」を表すのではないのでは? 以上3点、宜しくお願いいたします。

  • ランダウの記号の使い方

    ランダウの記号の、大文字のОの使い方で質問があります。 関数f(x),g(x)に対して lim[x→a]|f(x)/g(x)|=b<∞ が成り立つとき、f(x)=О(g(x)) (x→a) と表記するそうですが、 では、f(x)=0のときは、g(x)≠0に対しては、 |f(x)/g(x)|=0なので、f(x)=О(g(x)) (x→a) と表わせるのでしょうか?

  • ランダウの記号についての関係式について

    (e^x-1-sinx)(x-sinx)/x(1-cosx)^2のx→0を求めよという問題なのですが 掲載されている解答を理解できないのでここで質問させてもらいます。 マクローリンの定理を使って e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2) sinx = x - x^3/6 + o(x^4) cos = 1 - x^2/2 + o(x^3) とし(1) 分子=(x^2/2 + o(x3))(x^3/6 + o(x^4)) =x^5/12 + o(x^5) ------------(2) 分母=x(x^2/2 + o(x^3)) =x^5 /4 + o(x^6) ----------------(3) となっていてここで二つの質問があります。 まず(1)ですが なぜこれは3項までと2項までとを求めているのでしょうか 二つ目に(2)と(3)の式変形に関してなぜこのようになるのかがよくわかりません。 よろしくおねがいします。

  • ランダウの記号oとO

    スモールオーoとラージオーOにおいてo(x^n)とO(x^n+1)が対等のような書き方の本がいくつかありますが、nとn+1の違いをつけると何故これらが対等になるのかがわかりません。どなたかご存知の方はお教えください。

  • テーラー展開とランダウの記号

    x→0のとき  (1+x)^x=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+o(x^3) が成り立つようにaiを定めよ。o(x^3)はランダウの記号とする。 aの右側の数字は添え字です どなたかこの問題を解説して頂けませんでしょうか?

  • テーラー展開時のオーダーについて

    x=0において何位の無限小になるか sinx-x この問題で解説には 「テイラー展開してsinx=x-x^3/3! + o(x^3) であるから、sinx-x=O(x^3)」 スモールオーダーってのはたしか an=o(bn)<=>lim(n→∞)an/bn=0 ということですよね? sinx=x-x^3/3!+x^5/5! … だから lim(n→∞)(x^5/5!)/x^3≠0??? どこの考え方が間違ってるかご教授お願いします。

  • オーダー記号oとO

    級数などにおいて使われるオーダー記号には大文字O(x)と小文字o(x)があるようですが、 この二者はどう違うのでしょうか? 漸近級数と特異摂動法という本で出てきたのですが、あまり理解できませんでした。

  • 連続関数は関数記号と極限記号を入れ替えられる

    連続関数であれば関数記号(fのこと)と極限記号(limのこと)を入れ替えることができる事を 以下のように示したのですがあっていますか。 (証明) 関数f(x)がx=aで連続 ⇔lim[x→a]f(x)=f(a) このときlim[x→a]x=aであるので lim[x→a]f(x)=f(a) ⇔lim[x→a]f(x)=f(lim[x→a]x) よって連続関数であれば関数記号と極限記号を入れ替えること ができる (証了)

  • 無限等比級数の極限の問題です。

    学校の問題集の問題なのですが。 次の命題の真偽を調べて下さい。偽のときはその反例をあげてください。 (注){an}と{bn}は無限数列です 1.lim_(x→∞){an}=+∞ , lim_(n→∞){bn}=0 ならば,lim_(x→∞){an}{bn}=0 解答では 偽で反例は {an}=2n ,{bn}=1/n となっているのですが どうしてなのでしょうか? 2.lim_(x→∞){an}=+∞ , lim_(n→∞){bn}=+∞   ならば、lim_(n→∞)({an}-{bn})=0 この問題は解答では 偽で反例は{an}=n,{bn}=n^2 となっています。 教えて下さい。お願いします。

  • 積分記号など数学記号のパソコンでの表し方

    ワード上及びこのコーナーで xの2乗はどう書きますかx2(2を小さく上につける) xの2分の1乗 積分記号 偏微分記号 分数を A/Bでなく 棒を横にする ルート2 LIMの下にx→0 2分の1X など 皆さんどうしてますか イライラした経験があると思いますが。