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行列の、直交行列による対角化
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- kawaisoo
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固有値と固有ベクトルの求め方はできるでしょう~ 省略して、固有値は0(重解)と3です。 固有ベクトルは X1=c1(-1 1 0)+ c2(-1 0 1) と X2=c3(1 1 1)です。 3つの固有ベクトルとも直交してないので、直交させるベクトルをもとめる必要がるんです。 (-1 1 0)x(-1 0 1)=-1(0でない) (-1 0 1)x(1 1 1)=0 これより、 (a b c)x(-1 0 1)x(1 1 1)=0になるように、 abcと求めばいいです。つまり、 (a b c)x(-1 0 1)=0 (a b c)x(1 1 1)=0 連立して、解けます。 (abc)=(1 -2 1) これより、直交ベクトルができます。 対角化ベクトルは 000 000 003
- nuubou
- ベストアンサー率18% (28/153)
問題: 実n次正方行列Aについて ・Aは直交行列で対角化できるか? ・できるならAを直交行列で対角化せよ 手順: (1) Aが対称行列であることを確認する 定理:「実正方行列AにおいてAが直交行列によって対角化できるための必要十分条件はAが対称行列であることである」 定理:「複素正方行列AにおいてAがユニタリ行列によって対角化できるための必要十分条件はAが正規行列であることである」 (2) 固有値を求める Eをn次単位行列として|A-λ・E|=0の解を求める λ[1],λ[2],λ[3],・・・,λ[m]をそれぞれ |A-λ・E|=0の k[1],k[2],k[3],・・・,k[m]重根とする k[1]+k[2]+k[3]+・・・+k[m]=nである λ[1],λ[2],λ[3],・・・,λ[m]はすべて実数である 定理:「実正方対称行列の固有値はすべて実数である」 定理:「エルミート行列の固有値はすべて実数である」 (3) 固有ベクトル空間を求める λ[i]の固有ベクトルをv[i]とするとv[i]は (A-λ[i]・E)・v[i]=0から求めることができる この式を満たすv[i]の集合はベクトル空間(固有ベクトル空間)V[i]を形成しその次元はk[i]である 各iについてV[i]の基底を求める (4) シュミットの直交化法によって 各iについてV[i]の基底を正規直交化する 定理:「実正方対称行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」 定理:「正規行列の異なる固有値の固有ベクトルは直交する」 (5) (4)により求めた基底をすべて(n個)並べて行列Pを作る Pはすでに直交行列になっている すべてのiについてλ[i]をk[i]個対角に並べてn次対角行列Λをつくる するとP^(-1)・A・P=Λとなっている ただしP作成時固有ベクトルを並べる順とΛ作成時固有値を並べる順はあわせる 定理:「ノルム1で互いに直交するn個のn次実ベクトルを並べてできる行列は直交行列である」 定理:「ノルム1で互いに直交するn個のn次複素ベクトルを並べてできる行列はユニタリ行列である」 定義: 単位行列:対角成分がすべて1の対角行列E 対称行列:A^T=Aである行列A 直交行列:A^T・Aが単位行列である実行列A エルミート行列:A^*=Aである行列A ユニタリ行列:A^*・Aが単位行列である行列A 正規行列:A^*・A=A・A^*である行列A ただし A^TはAの転置行列 A^*はAの複素共役転置行列 単位行列、実対称行列、直交行列、エルミート行列、ユニタリ行列はすべて正規行列である
- nasu0911
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まず行列の対角化について次の事を知っていないといけません。3次とします。 正方行列Aのの固有値λ1,λ2,λ3についてそれぞれに属する0でない固有ベクトルをp1,p2,p3とするとき、行列 P=(p1,p2,p3)=(p11 p12 p13 p21 p22 p23 p31 p32 p33) を対角変換行列といいます。 そして、行列Aは以下のようにPによって対角化されます。 P-1AP=(λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3) そして問題ですが、まずAの固有値を求めなければなりません。 |A-λI|=0を解きます。 |1-λ 1 1 1 1-λ 1 1 1 1-λ| =(1-λ)^3+1+1-3(1-λ)=(3-λ)λ^2 なので固有値は λ1=0,λ2=0,λ3=3 となり,固有ベクトルPは P=V = 0.4082 0.7071 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 -0.8165 0 0.5774 となり、P^-1AP=(0 0 0.0000 0 0 0.0000 0 0 3.0000) となります。
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