- ベストアンサー
定積分の問題です 教えてください。
siegmundの回答
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
複素積分の応用でできます． 実軸上を -R から R まで，および複素上半面の半径 R の半円からなる， 周回積分路をとって f(z) = z^2/(1+z^4) を積分し，R→∞ とすればＯＫです． (a) 積分路内の極は z = e^(iπ/4)，e^(3iπ/4)． (b) 留数の計算． (c) 留数定理で積分値はわかる． (b) 半円部分からの寄与は R→∞ で消える． (c) 実軸に沿った積分は求める積分の２倍に他ならない． という常套手段そのままの順です． 答は π/(2√2) のようですが，検算していませんのでチェックよろしく． なお，x^2/(1+x^4) は， 分母が (1-√2 x +x^2)(1+√2 x +x^2) と因数分解できますから， 部分分数分解で不定積分を求めることもできます．
関連するQ&A
- 積分問題
A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx (1)A+Bを計算せよ。 (2)AとBが等しいことを示せ。 (3)Aの値を求めよ。 (1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx =∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx =[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx =1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)} =(2/√2)log tan(π/8) + π/2 になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか？ (2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。 (3)もどうようにわかりません。 教えて頂けないでしょうか？ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の問題を教えて下さい
次の問題の答えを教えて下さい。 １．次の広義積分を求めよ。ただし、r,kは正の定数とする。 (a)∫(rから∞)dx/x^2 (b)∫(0からr)dx/√r-x (c)∫(-∞から0)e^(kx)dx (d)∫(0から1)dx/x^2の三乗根 (e)∫(1から∞)dx/x(1+x) (f)∫(0から1)√(x/1-x)dx ２．次の広義積分を求めよ。 (a)∫(-1から1)dx/x (b)∫(-1から1)dx/x^2 (c)∫(-∞から∞)dx/x^2+1 ３．広義積分I=∫(0からπ/2)log(sinx)dxの値を、次のようにして求めよ。 (a) I=∫(π/2からπ)log(sinx)dx=∫(0からπ/2)log(cosx)dxが成り立つことを示せ。 (b)x=2tとおいて2I=∫(0からπ)log(sinx)dxの値を計算することによって、I=-(π/2)log2であることを示せ。 ４．s＞0として、ガンマ巻数Γ(s)=∫(0から∞)e^(-x)x^(s-1)dxについて式Γ(s+1)=sΓ(s)が成り立つことを示せ。 ５．p＞0,q＞0として、ベータ関数Β(p,q)=∫(0から1)x^(p-1)(1-x)^(q-1)dxについて式Β(p,q)が成り立つことを示せ。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数