地球から見た火星の速度を教えてください

質問

どちらも惑星ですが、地球と火星との相対速度の最大と最小はわかるでしょうか。
一つの方程式で表わせるのでしょうか。

回答No.5

Teleskope · ベストアンサー

>>　この図ではＦ－f の線が一番短いように見える <<

　それは相対速度ではなく、「視線速度のようなもの」です。正確には視線速度ではありませんが。　視線速度は最接近の時にマイナスからプラスに転じるのでゼロを通ります。しかしこれは「相対速度が一瞬ゼロ」とは違います。

　同心円でも逆行が見える光景は、円運動ゆえ起きるのです。これを頭に浮かべるには相応の慣れ＝訓練が要ります、自ら図を書いて、固有運動は架空のスクリーンに投影した空疎な絵であることに気づかないと。　正確な理解は「積み重ね」という地道な努力が要ります。他人が書いた完成図を見て 直感に頼るだけでは無理かも知れません。

　話題がいきなり小惑星と地球の衝突に替わってますが、

>>　このときの相対速度は、Ａの公転速度－Ｂの公転速度ではないように思われるのです。 <<

　小惑星が地球に接近してくる軌道は「公転軌道」そのもので、速度差＝相対速度は、「Aの公転速度－Bの公転速度」そのものです。衝突するしないに関係ない言葉です。
　軌道が同心円のままなら衝突は永久にありません。接近してくるのは同心円でない楕円だからですね、「公転速度」という用語は同心円に限ったものではありません。楕円軌道の速度は場所によって変わるけど「公転速度」です。

　素朴な概念を堅持した立場のままでは深入りした理解は難しいでしょう。

補足

いつも詳しいご回答をありがとうございます。

いきなり、車の話題になりますが、
時速６０kmの車が時速４０kmの車に真後ろから追突すれば、その衝突エネルギーは、６０－４０＝２０で、正面衝突すれば、６０＋４０＝１００で計算されるでしょう。（合っているでしょうか）
十字路の交差点で衝突すれば、（６０＋４０）÷２＝５０で計算される、でよいでしょうか。（速度成分、ベクトルといったことになるでしょうが、単純計算しています）

この衝突時の互いの接近速度が、相対速度といったものではないのでしょうか。
考え方として、速度差＝相対速度より、接近速度＝相対速度の方が相応しくないでしょうか。

同じように、惑星同士の接近速度が、相対速度になるのではないでしょうか。
惑星の軌道同士が同一平面ではない場合、例えば、地球と、９０度の角度を持った軌道を公転している小惑星（現実にはありえないと思いますが）との相対速度（接近速度）は、それぞれの軌道が楕円であるかどうかは関係なく、「Ａの公転速度－Ｂの公転速度」では計算されないのではないでしょうか。

何やら話を難しくして済みません。

回答No.6

Teleskope

>>　
時速６０kmの車が時速４０kmの車に
後ろから追突すれば６０－４０＝２０
正面から衝突すれば６０＋４０＝１００
この互いの接近速度が相対速度ではないでしょうか。 <<

　学校で「負の数」を習ったあと、引き算と足し算は合併したはずです。お説のことは「負の数」を習う以前の文法に固執されてるのですね。　その立場を堅持されて「数学的なことは一切排する」のなら残念ながら永遠に平行線です。

相対速度という用語の意味は、互いの速度の「差」という意味です。

　　(対象物の速度)－(基準にする物の速度)

Aを基準にしたBの相対速度は VB－VA です。
Bを基準にしたAの相対速度は VA－VB です。
お書きのクルマの場面のどれが負の数なのかをお考えください。

>>　惑星の軌道同士が同一平面ではない場合、例えば、地球と、９０度の角度を持った軌道を公転している小惑星との相対速度は「Ａの公転速度－Ｂの公転速度」では計算されないのではないでしょうか <<

　これらはすべてベクトルで話していまして、そうすれば「Ａの公転速度－Ｂの公転速度」の一言だけで、全ての場合を言い尽くしてるのです。互いが任意の角度関係にある全ての場合を、です。　そういうものだと納得していただくしかないです。　これも「負の数以前の文法」ではとても表現しきれないゆえにベクトルを使っているのです。

　固有運動のことも、人間に見えてる光景が実際の運動そのものではないです。固有運動が現実の動きなのだとして相対速度を話されても、いくら力説されても、立脚してるものが見かけの幻影なのですから。天動説的なんです。

お礼

逆行について、動画でよく解るものがありました。
http://astro.ysc.go.jp/mars-links.html#after2003
星座を背景に、火星がループを描くように位置を変える理由：図解 １ ２ ３ ４

相対速度の件はまたじっくり考えてみます。
今回はほんとにありがとうございました。
またの節はよろしくお願いします。

補足

いつもありがとうございます。
Teleskopeさんのご解説を参考にさせていただき、火星、逆行、最接近などをキーワードにして、次のページに行き当たりました。
http://www.astroarts.co.jp/special/2005mars/mars_2005-j.shtml
今年の火星は、さそり座からおうし座まで順行し、10月1日に留のあと逆行に転じ、10月30日におひつじ座で最接近、11月7日に衝となり、12月11日に再び留となって順行に戻る。

同心円でも逆行が見える光景は、円運動ゆえ起きることが、何となくわかったように思います。（まだ完全にではないのですが）
お示しいただいたURLなどを参考に、衝、逆行や最接近（実測距離では折り返しに関係なく１回でよいのですね）と速度の関係について、もう少し考える訓練をしてみます。

回答No.4

Teleskope

いけない！訂正です；

>>　右辺が１になるのはメートル法の単位系の偶然のなせるわざです <<

これはメートル法に限らずでした。失礼を。

回答No.3

Teleskope

>>　10月１日と12月１日の二ヶ所で折り返していますね。もし地球と火星が楕円ではなく同心円の公転運動をしていれば、この二ヶ所の折り返し点はないということでよいでしょうか。 <<

　いや、完全な円運動でも起きます。　楕円の程度はわずかなので折り返してる期間の約2ヶ月間が、数日ほど伸び縮みする程度です。　楕円の程度は火星が一番大きく、他の惑星の軌道はもっとずっと真円に近いです。
↓実際の火星逆行
http://www.es.flinders.edu.au/~mattom/science+society/lectures/illustrations/lecture8/Mars.gif
↑逆行の左右幅が少しずつ違ってますね、軌道が楕円であることによる差異はこの程度です。上下方向に振れてるのは地球軌道と一平面でないためです。でも殆ど太陽のコース（黄道）と重なってます。

>>　その場合、ある一点（太陽―地球―火星　と一直線のとき、最接近したとき）で、瞬間的に、視線速度（見かけ）と直角方向の固有運動のどちらも止まり、また、実距離（相対距離）での運動を考えてみた場合、物理（学）的な意味で、相対速度はゼロということでよいのでしょうか。 <<

　残念ですが、はっきり駄目です。
見た目＝固有運動が止まっていても、視線速度はゼロではないのです。前半はどんどん近付いてる一方で、最接近のときに一番近くなり、そのあと後半はどんどん遠ざかる一方なのです。

　日常感覚で見た目＝固有運動を「相対速度」と呼びたい心情はよく判りますが、せいぜい「相対運動」に留めてください。速度は困ります。　これは患者と医者の「一日の酒量とタバコ本数の交渉」のようなもので、物理側からはノーというしかありませんｗ

　惑星の公転運動は太陽の質量に支配されておりまして（ケプラーの法則）、一周時間を地球の年数 T で表し、軌道半径を地球軌道の倍数 AU で表すと、

　　(Tの2乗)÷(AUの3乗) = 1に極めて近い。
です。
右辺が１になるのはメートル法の単位系の偶然のなせるわざです。
外側の惑星ほど周期が長い、速度が遅いんですね。

↓木星。
http://www.ap.stmarys.ca/~ishort/Images/SolSystem/PlanetMtn/Retrograde/158279.JPG
↑遠い惑星は視角の変化自体が小さいことが感覚的に分りますね。　近すぎても速度差が少ないので駄目なのです。両者の兼ね合いで火星のあたりがベスト。

↓天動説の周転円（赤）による逆行の説明
http://honolulu.hawaii.edu/distance/sci122/Programs/p8/epicycmov.gif
↓遠い惑星ほど、周転円の大きさ＝逆行の幅 が小さいです。遠い方から土星木星火星
http://fnorio.com/0015Classical_Astronomy1/FIG2-1-1.GIF

補足

ありがとうございます

>> 完全な円運動でも起きます。<<
http://www.ap.stmarys.ca/~ishort/Images/SolSystem/PlanetMtn/Retrograde/158279.JPG

どうもよく解らないのです。
この二つの図では、Ａ－a' 線の延長線上にa'点、Ｅ－e'線の延長線上にe'点が、Ｆ－f 線の延長線上に f点がありますが、Ｆ－f の線が一番短いように見えるのです。
そうすると、地球とJupiterの再接近は、Jupiterがこの f点の位置に来たときのように思われるのですが・・。（同心円として考えています）
それに、同心円（真円）の場合には、どうしても折り返しすることが解らないのです。（「はっきり駄目です」とまで言われてしまいましたが）

小惑星の地球への衝突の可能性はほとんどない、確率は小さいのでしょう。
Ａという惑星とＢという惑星（隕石もそうだと思うのですが）が、軌道半径が違っても、楕円軌道で交差するようなことがあれば、接近するだけでなく、実際衝突することもあるでしょう。その衝突のエネルギーは相対速度が問題になるでしょう。
このときの（相対）速度は、Ａの公転速度－Ｂの公転速度ではないように思われるのです。

回答No.2

Teleskope

>>　地球と火星間の相対距離だけを考えてみた場合、その１のときが、地球から観た火星の速度は、5.7km/秒ではなく、瞬間的に相対速度０ということではないのでしょうか。 <<

　残念ですが物理学的には瞬間的に相対速度ゼロではありません。そうお感じになる速度は、物理的な意味とは別の日常感覚での意味でしょう。
　天文では、視線に沿った速度（視線速度）と、それと直角方向の固有運動（http://www.jwb.com.cn/img/2005-10/02/02fw7.jpgです）に分けます。
後者は速度ではありませんが、移動が一瞬止まって折り返してる所が２カ所あるのは図でご覧のとおりです。ここが貴方が言う「一瞬相対速度がゼロ」に対応してるはずです。
　この固有運動は、物理の定義の「速度」には当てはまらないのですが、日常感覚では「見かけの速度」とも言うのを知ってますので、今回もたぶんそれかなと思って前記の式を示しました。
　　θ=tan-1(…)
これが、「ひとつの式はありますか？」とお尋ねの「その式」そのものです。

>>　地球と火星間の瞬間の相対速度を一つの式（地球の時期を特定すれば即座に計算できる）で表すことができるのかどうか、<<

　前回書いた式に日付を（何時何分も小数点で表して）入れて計算すれば表すことができます。三角関数が付いた電卓がなければ、ネット上でもできます。↓
http://www.google.com/search?as_q=atan%281234%2F5678%29%3D&num=100&hl=ja&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&as_epq=&as_oq=&as_eq=&lr=&as_ft=i&as_filetype=&as_qdr=all&as_occt=any&as_dt=i&as_sitesearch=

>>　その式が既存のものとして現在あるのかどうか <<

　それなりの数学ができる人なら必要に応じて誰でも作れます。

補足

ありがとうございます。

http://www.jwb.com.cn/img/2005-10/02/02fw7.jpg

この図では、10月１日と12月１日の二ヶ所で折り返していますね。
もし、地球と火星が楕円ではなく、同心円の公転運動をしていれば、この二ヶ所の折り返し点はないということでよいでしょうか。

その場合、ある一点（太陽―地球―火星　と一直線のとき、最接近したとき）で、瞬間的に、視線速度（見かけ）と直角方向の固有運動のどちらも止まり、また、実距離（相対距離）での運動を考えてみた場合、物理（学）的な意味で、相対速度はゼロということでよいのでしょうか。

回答No.1

Teleskope

（ なんか珍しい質問ですね。　細かいことをすべて省略して単純な一平面上の円軌道だとして話します。）

太陽系の外から眺めると 太陽を中心にして回ってますね、その公転の速度は
地球　29.8 km/秒
火星　24.1 km/秒　　地球の約8割
です。

　公転の方向はどっちも同じです。普通は反時計方向に描きますね。
なので、相対速度は、
最低速度は同じ方向に走ってる状態。すなわち
　　　太陽―地球―火星　　と一直線のときで、
相対速度は　29.8－24.1 = 5.7km/秒　です。

最高速度は互いに逆向きの状態。すなわち
　　　地球―太陽―火星　と一直線のとき。
まぶしくて見えませんが
相対速度は　29.8＋24.1 = 53.9km/秒　です。
最低速度のほぼ10倍速いです。

公転軌道の大きさ（半径）は
地球 A1 = 1億4960万km
火星 A2 = 2億2800万km　　地球の1.524倍

公転の時間は
地球 T1 = 1年ぴったり = 365日
火星 T2 = 1.881年 = 687日（地球の日数で）
です。

>>　一つの式で <<

　そうお望みなら仕方がないので数学地獄になりますがｗ　回転運動なので2次元の式ですね、一つの式で表すのなら位置ベクトルになります。太陽を座標原点にした位置ベクトルを複素数で書くと、
地球　R1 = A1 exp(i2πt/365)
火星　R2 = A2 exp(i2πt/687)
記号は、exp は指数関数、i は虚数単位、πは円周率、t は日付です。
日付は、太陽－地球－火星と一直線になった日をゼロとして数えます。（ これを衝（しょう）と呼びまして最近では昨年の11月7日でした。軌道がわずかに楕円なので「最接近」とは少しズレます。最接近の方は昨年の10月30日でした。）

相対距離 R は引き算ですね、
　　R = R2－R1 = A1(1.524exp(i2πt/687)－exp(i2πt/365))
速度は距離を時間微分したものですから、上式を微分すれば得られます。どうぞｗ　結果はやはりベクトルです。

　でも普通、人類は
火星まで何 kmあるかなんて気にもしませんで、位置や速度を昔から「見える角度」で表してきました。
　　2πt/687 を θ1
　　2πt/365 を θ2　と書いて見やすくします。
角度は t=0 の方向をX軸と決めて、そこから測りましょう。複素指数関数 R1,R2をX軸成分とY軸成分に分けると
地球
　　X1 = A1cosθ1
　　Y1 = A1sinθ1
火星
　　X2 = A2cosθ2
　　Y2 = A2sinθ2
です。相対距離は引き算で
　　X = X2－X1 = A1(1.524cosθ2－cosθ1)
　　Y = Y2－Y1 = A1(1.524sinθ2－sinθ1)
です。
求める角度は、直角三角形の底辺がXで高さがY、斜辺とX軸との角度ですから、
　　θ= tan-1(Y/X)
と求まります。
記号tan-1はアークタンジエント(タンジェントの逆間数)です。

で、
θの式を日付 t をコトコト進めて計算していくと、
↓おなじみのこれを得ます。
http://www2.open.ed.jp/real/13618/01.mpeg
http://www.mcneese.edu/colleges/sci/deptphys/obsv/images/mars_motion.jpg
http://www.jwb.com.cn/img/2005-10/02/02fw7.jpg
昔の人が「あの星は放浪者（ギリシア語でプラネット）だなあ」と呼んだ動きですね。　3番目の図は中国サイトでして、衝＝沖＝冲のようですね。

　もし、本当に速度そのものが欲しいのなら、A1,X,Y,θから算出できます。式が必要ならその旨を補足に書いてください。

補足

さっそくの回答をありがとうございます。

＞太陽―地球―火星　　と一直線のときで、
＞相対速度は　29.8－24.1 = 5.7km/秒　です。

地上で、平行している線路に、二本の列車が同じ時速１００kmで並進している場合、どちらから観ても、相対速度は時速０kmですね。
その線路が　)(　のように、それぞれ弧を描いている場合、刻々とその列車間の距離に変化がありますが、その場合でも、相対速度は時速０kmなのでしょうか。

地上で観測していると、
最接近している、太陽―地球―火星のときの地球と火星間の距離を１とすると、そのときを挟んで地球・火星間の距離は１より大きくなっていますね。
地球と火星間の相対距離だけを考えてみた場合、その１のときが、地球から観た火星の速度は、5.7km/秒ではなく、瞬間的に相対速度０ということではないのでしょうか。

それとは別に、
その具体的な式を必要としているわけではないのですが（聞かせていただいても本当のところ解りません）、地球と火星間の距離ないしその瞬間の相対速度を一つの式（地球の時期を特定すれば即座に計算できる）で表すことができるのかどうか、その式が既存のものとして現在あるのかどうか（珍しい質問ということは、ないということなのでしょうか）を、教えていただければ幸いです。