相対論の「同時性の不一致」について教えてください

質問

「同時性の不一致」は、ニュートン雑誌（７、9月号）などで説明しているのを読んでみましたが、僕のレベルでは下記のような状況の場合理解できません。教えてください。

【状況の仮定】　
　(1)　月に対して高速に近いスピードで進んでいるロケットの、先端と後方がら、ロケットに乗っている人から見て、同時に大きな質量の大砲の弾を 進行方向に対して、垂直同方向に放ったとします。

　(2)　ロケットは、弾の慣性力で、進行方向に対して、前後同時に弾の慣性力を受けるので、平行に移動し進行し続けると考えます。

　(3)　これを月にいる観測者からロケットを見た場合、弾は同時に発射されてないように見えるため、弾の発射による慣性力も、ロケットの先端と後方に同時に働かないのでしょうか。

　　この場合、
　　(3)-１　月から見ても、ロケットが進行方向に対して、平行に移動したように見えるのであれば、どの観測者から見ても、弾が同時に発射された証拠であり、ただ見た目に同時ではないだけなのではないでしょうか。これは、同時に発した音が遠いスピーカーと近いスピーカーの音が同時に聞こえないようなものではないのでしょうか。（雑誌には「光の到達時間の差分は考慮済みで同時ではない」と記載がありましたが）

　　(3)-２　月から見た場合、弾は同時に発射されないので、ロケットは進行方向に対して、前方と後方の弾の慣性力にも時間差があり、傾いた移動をするように見えるのでしょうか。

　月の観測者は、(3)-１、(3)-２どちらの状況で観測することになるのか、教えてください。

回答No.2

circuit_breaker · ベストアンサー

ロケットのちょうど中央部から前後に光が放たれ、この指令により先頭および後尾の大砲が起動する。ロケットに乗っている人にとっては反動が同時で平行移動、しかし月の観測者にとっては時差があって・・・。確かに不思議ですね。

月の観測者にとっても前後に伝わる光の速度は同じであり、ロケット後尾は指令の光に対して接近、また先頭は後退しつつあるのですから、後尾の大砲の方が早く発火するように見えますね。まず後尾、続いて先頭が動き出しロケットが傾斜して運動する事になりそうです（私の見解は＃１さんとは逆です）。ロケットが目の前を左から右に飛んでいるとしましょう。そして弾は下の方向へ発射。ロケットは斜め右上に向かって飛ぶ事になるのですが、ロケットの先頭は逆に右下に傾斜して見えるという事です。何とも不自然ですが、直観的には次のように捉えられそうです。たんざく状(長方形)の紙の「対角線方向にロケットが描いてある」とします。まずロケットに平行移動が無いとすれば、ロケットは単純に対角線方向に飛んでいます。対角線を目の前に水平に置いてください。ローレンツ収縮もこの方向なので何ら傾きは認められません。それでは平行移動を加えたらどうなるでしょう。たんざくの長手方向を合成された新たな運動方向としましょう。ローレンツ収縮はこの方向に生じるように変化します。たんざくを均等に縮める時、たんざくに描かれたロケットが水平から傾く様子が想像できませんか。（ただしこのモデルは完全ではないので定量的な計算には用いないで下さい。）

それでは、定量的な考察をしてみましょう。ロケットに従属する慣性系内で平行移動しつづけるそれが、月の観測者にとってどれだけの傾きに見えるか、まず通常のローレンツ変換で計算してみましょう。そして、次に大砲発射の時間差を発端として計算した傾きと一致するか確かめてみましょう。月の観測者に対するロケットの速度を u、その方向を x 、平行移動の速度を w'(ロケットの系基準)、その方向を y' と記述します。ロケットの系の変数の肩には ' を付て表す事にします。また 1 / √( 1 - (u/c)^2 ) は良く出てくるので γ と略記します。

１．ローレンツ変換による計算法
ロケットは、それに従属した慣性系 K' 内で w' という速度で y' 方向に平行移動しています。この K' が x 方向相対速度 u をもつ月の系にどう変換されるか計算します。
基本式、t' = γ( t - ux/c^2 ) 　と 　y' = y 　を計算の出発点とすれば、
　y = y' = w't' = w'γ ( t - ux/c^2 )　
が計算されます。平行移動、すなわち、x' によらず y' 一定が、x に対してはそのように表現されるという事です。よって x 軸に対するロケットの傾きは、
　dy/dx = - w'γ u / c^2
となります。ロケットの系で y の正方向に平行移動するロケットの先端は月からみると、y の負方向に傾いているようです。

２．大砲発射の時間差を発端にした計算法
ロケットの長さはローレンツ収縮により実際の 1/γに見えるのですが、それを考慮済みで、月から見た長さを L と置きましょう。この中央からの光の指令が先端と後尾に達する時間差を求めてみましょう。月から見ても先頭に放たれた光と後尾に放たれた光の速度が等しいと言う条件に、速度 u による先頭や後尾の位置移動を考慮すれば良いのです。先頭に到着するまでの時間は L/2 / ( c - u ) 、後尾に到着するまでの時間は L/2 / ( c + u )、ですから、時間差は、
　Δt = L/2 * ( 1 / ( c - u ) - 1 / ( c + u ) ) = L u / ( c^2 - u^2 )
となります。γを使って表現すれば、
　Δt = L u γ^2 / c^2
です。この時間差で大砲が発火するのですが、加速後の速度は等しいので、ある一定の y 方向距離を保って後尾は先頭を追い、傾斜は一定になります。その距離 Δy を計算しましょう。
　Δy = w Δt
でそれは計算可能ですが、 w は月の系における平行移動速度なので注意が必要です。
　w = w'/γ
である事はお分かりでしょうか。月からみてロケット内の時間経過が 1/γ に鈍っている事を考えれば直観できると思います。ロケット内の観測者がw'と信じている y 方向速度は、月からみれば w'/γなのです。これらより、
　Δy = w Δt = w'/γ * L u γ^2 / c^2 = w' L γ u / c^2
従ってロケットの傾き（後尾基準の先頭）は、
　- Δy / L = - w'γ u / c^2
と成ります。先のローレンツ変換による通常の導出結果と上手く一致するようです。

以上、誤りがないと良いですが。

お礼

回答ありがとうございます。
　この回答を読ませてもらって、直感的に納得しました。
　教えていただいた回答をじっくり自分で追ってみたいと思います。

　ほんとに、circuit_breakerさんとこの教えてgooには感謝します。スバラシイ・・・パソコンを約1.５年前に使い始め、得るものが、指数的とまでは言いませんが、ほんとにどんどん増加していることにも感謝しています。

回答No.1

shiara

質問中の「慣性力」といっているものは、反作用のことだと思われますので、そのように解釈して説明します。
　ご質問の主旨は以下のことだと思われます。ロケットが進行方向に垂直な方向に平行移動をした場合、別の座標系から見たときも、ロケットは平行移動をするのか。
　答えは、平行とはなりません。傾いて移動していきます。ご質問の状況では、はじめに先頭部分が動き出して、その後船尾の方が動き出します。あとは傾いたまま移動していくはずです。
　ローレンツ変換で座標変換した場合、直交するベクトルが直交しなくなるというようなことは、普通に起こることです。

お礼

回答ありがとうございます。
　No2さんの回答と一緒に読ませてもらいました。
　やはり、先端と後方は、時間差をもって動き出し、ロケットに乗って感じている、進行方法に対する角度とは、違う角度で進行方向に向かって移動する事がわかりました。