物理に関する疑問

質問

僕は大学受験を控えている高校生なのですが物理について分からないことがあります。速度が二倍になると、その衝撃が二乗になっていくのはなぜかということを式などを用いて詳しく教えてほしいです。よろしくお願いします。

回答No.2

stomachman

速度がk倍になると衝撃が(k^2)倍になる、と仰る。この「衝撃」って何でしょうね。
　運動量の保存則から、力積＝(ぶつかっている最中に発生する力×ぶつかっている時間) は（物が壊れたりしない限り）速さに比例します。ですから、ご質問は「運動エネルギーが速さの２乗に比例するのはなぜか？」という問いでしょうか。

　エネルギーがたんに「勢いを表す数字」であるうちは何でも良いのです。ゲームで「攻撃力１０００」とか言ってるのはそういう、「たんに勢いを表す数字」ですね。
　そうではなくて、エネルギーを「保存する量」として扱うためには、エネルギーの足し算が出来なくちゃいけません。さらに、種類（運動エネルギー、位置エネルギー、熱エネルギー…）によらず、同じ尺度で測れなくてはいけない。（「保存」とは、どんな種類のエネルギーに姿を変えても、エネルギーの総和は保たれる。という意味ですから。）
　これらの要請を満たすように「エネルギー」という尺度を構成すると「運動エネルギーは速さの２乗に比例する」という結果になる。

　コップに入った100ccの水の温度を１℃上げると、熱エネルギーがその分だけ増える。
　2つのコップにそれぞれ100cc入っている水の温度を１℃上げた場合には、熱エネルギーの増加は最初の実験の２倍でなくてはなりません。足し算ができる、という要請があるからです。そのように「熱エネルギー」を定義しなくてはならない。

　位置エネルギーを熱エネルギーに変える場合、1mの高さに吊り上げたおもりが0ｍの高さにある水中に落ちて静止することで水の温度が上がる。この実験を２回繰り返すと２倍の熱エネルギーが発生する。1mの高さにあるおもり２つを落としても２倍の熱エネルギーが発生する。では2mの高さに吊り上げたおもりをまず1mの高さにある水に落とし、それからさらに0mの高さにある水に落とすとどうか。これも２倍の熱エネルギーが発生する。2mの高さにあるおもりを0mの高さにある水に落としても、やはり２倍である。
　かくて、高さhとおもりの質量mを使って、
(発生する熱エネルギー)=(おもりの位置エネルギー) ∝mh
であることがわかります。（∝は比例の意味です。）

　おもりを落とすのでなくても、ぶつかる直前の速度が同じなら、発生する熱エネルギーは同じです。どうやっておもりをその速度にしたかは関係がない。つまり位置エネルギーは運動エネルギーを経て熱エネルギーに変わった。
　高さhからおもりを落とすと、高さ0で水にぶつかる直前の速さはv=√(2hg)　(gは重力加速度）ですから、
(おもりが高さhにあったときの位置エネルギー) = (おもりが速さv=√(2hg)のときの運動エネルギー)
が成り立つためには
(おもりの運動エネルギー)∝mh=m(v^2)/(2g)
でなくてはならない。

　以上のようにして、運動エネルギーが速さの２乗に比例することが分かります。