閉じている集合

質問

４数からなる集合Ａがあり、乗法と除法に関して閉じている。このとき、
　(1)４数を求めよ。
　(2)集合Ａは、(1)の答えである組のみであることを示せ。

おそらく、この４数とは、｛1,-1,i,-i｝だと思うのですが、(2)の証明が思いつきません。どなたか、ご教授ください。

回答No.1

BLUEPIXY · ベストアンサー

乗法に関して閉じているということから
A1,A2,A3,A4の内の一つの数ｘは、
ｘ、ｘ＾２、ｘ＾３、ｘ＾４が
A1,A2,A3,A4の組のどれかになり巡回しなければならないことから
ｘ＾５＝ｘ
（５乗すると元に戻る）を満たしていなければならない。
上の式を解くと
(x^2+1)(x-1)(x+1)=0となって
題意を満たすｘはiしかない
よって{i,-1,-i,1}の一組である

補足

ということは、乗法に関してのみ閉じているだけで、１組のみときまるということですか？

回答No.3

BLUEPIXY

＞乗法に関してのみ閉じているだけで、…
そうですね。
あんまり自信がない（私は、乗法に関して閉じていて除法に関して閉じていない４種の数の組の反例をあげることができない）ですが
例えば、集合Ａのある数ｘとある数ｙの乗算を
f(Ａx,Ａy)→Ａxyで表したとすると
除法に関して閉じていると言えば
f(Ａx,Ａxy)→Ａyが必ずあるということが言えると言うことです。
仮に、乗法の結果、４種が２種になったとしても、乗法に関しては閉じていますが、４種が２種になるような乗法の時には、除法は値が確定しない場合があるということですから、４種の演算の結果が４種になるという意味だと考えて良いと思います。
＃１の
ｘ、ｘ＾２、ｘ＾３、ｘ＾４が４種で同じ値がないという仮定はそういう意味で除法において閉じているから仮定（限定）できることです。

お礼

たいへん参考になりました。
ありがとうございました。

補足

乗法について閉じていることから
　ｘ×(かける)ｘ^４＝ｘ
除法について閉じていることから（ｘ≠０）
　ｘ÷ｘ^４＝ｘ
であり、２つの方程式を同時にみたすｘは、
　ｘ＝１，－１，ｉ，－ｉ
の４つであるから、４数からなる集合Ａは、
　Ａ＝｛１，－１，ｉ，－ｉ｝
ただ１つであるといえる。

というのは、いかがでしょうか？

回答No.2

turkey-yekrut

ｘ^5＝ｘから、
ｘ(ｘ＋1)(ｘ－1)(ｘ＋ⅰ)(ｘ－ⅰ)＝0
ｘ＝0，1，－1，ⅰ，－ⅰ
このように５つの解があるが、
除法に関して閉じていることにより、０が消える。
（０で割ることはできない）
したがって、残りの４数が集合Ａとなるのでは？

お礼

参考にさせていただきます。
ありがとうございました。