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楕円のグラフについて
6x²-4xy+3y²=18から楕円をエクセルで描いたのですが、 傾いた軸の方向と切片はどうやって求めるのかがわかりません。 教えてもらえないでしょうか？
- JapanJudo2020
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- staratras
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楕円を回転させて三角関数で計算するのが正攻法ですが、次のように考えることもできます。 6x²-4xy+3y²=18…(1) は 原点を中心とする傾いた楕円を表わすので長軸・短軸はx軸・y軸とは一致しない原点を通る直線上にある。 そこで直線y＝mx…（２）を考え、（１）の楕円との交点Pを求める。 （２）を（１）に代入して整理すると x^2=18/(3m^2-4m+6) （２）に代入して y^2=18m^2/(3m^2-4m+6) ここで原点とPとの距離の２乗を考える x^2+y^2=18(m^2+1)/(3m^2-4m+6)=f(m) とする f'(m)=-36(2m^2-3m-2)/(3m^2-4m+6)^2 となり、f'(m)=0 を解くとm=2,-1/2 f(m)の増減を見ると、最大値はf(2)=9 最小値はf(-1/2)=18/7 楕円上の点Pと中心との距離はPが長軸上にあるときが最大で短軸上にあるときが最小だから Pがｙ＝2ｘ上にあるとき最大値3 をとり、これが長軸上 Pがｙ＝-1/2ｘ上にあるとき最小値√(18/7)をとり、これが短軸上。 この楕円をarctan(1/2)だけ反時計回りに回転させれば縦長の標準形になる。 長軸の長さは6，短軸の長さは2√(18/7)になり、標準形にした楕円の式は x^2/（18/7）+y^2/3^2=1 ∴ 7x^2/18+y^2/9=1 （下の図の赤い楕円）
- gamma1854
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この楕円をOのまわりにφだけ回転し、標準形になるようにします。このとき、tanφ=1/2 です(φ≒26.565deg)。そのときの式は、 (7/18)x^2 + y^2/9 = 1. です。 --------------- 点(x, y) をOのまわりにφだけ回転し、(X, Y)になるとして計算します。 回転の行列 R(φ) を利用します。 R(φ)=(cosφ -sinφ // cosφ sinφ).
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