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曲線状の２点間の距離
普通の二次元の平面で、滑らかな曲線上にPとQがあります。 Qを固定して、PをQにちかづけていったとき、 曲線上のPQの長さ≒直線PQ は何となく理解できますが、照明できるでしょうか？ 曲率の定義の中でこの事実をつかっているのかなあ、と思うところがありお尋ねします。
- mathematiko
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つまり、「曲率の定義には曲線の長さが必要だが、そもそも曲線の長さの定義は何か？」ということですかね。 一般に曲線の長さは、『その曲線を折れ線で近似した時の長さの上限(sup)』で定義することになっています。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%B7#%E5%AE%9A%E7%BE%A9 なので、「Qを固定して、PをQにちかづけていったとき、曲線上のPQの長さ≒直線PQ」というのは、正確な言い方ではないけど、まあ感覚的に正しい。で、例えばその曲線が滑らか、とかいう条件があると、よく知られた積分を使った式になります。
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- f272
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曲率とは関係なく，曲線上のPQの長さと線分PQの長さの関係と言うことであれば，曲線上のPQの長さ≒直線PQで何を証明したいの？ そもそも微分可能曲線の長さであれば，x=f(t)，y=g(t)であらわされる曲線のt=aからt=bまでの長さの定義自体がL=∫[a:b]√(f'(t)^2+g'(t)^2} dtですよね。
お礼
回答ありがとうございました。
- f272
- ベストアンサー率46% (8019/17139)
どんな曲率の定義を習っているのでしょう？ 曲率とは，曲率半径の逆数 曲線y=f(x)の曲率半径とは(1+f'(x)^2)^(3/2)/f''(x) とすれば紛れはないように思いますがいかが？
お礼
回答ありがとうございました。 そうなんですけど、できれば図形的に理解したかったです。
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お礼
回答ありがとうございました。