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何通り？
noname#598の回答
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No.4の回答はやっぱり違いました。 箱に区別がつかないということは、箱に区別がつく状態から考えると、 （０，０，１）と（０，１，０）、（１，０，０）は同じと見る、ということです。 上のように２つが同じで、１つが異なる場合は３通りずつあり、 すべてが異なる場合は３！＝６通りずつあり、 すべて同じ場合は１通りしかないことから考えていきます。 n=6m-5のとき ３つの箱に区別があるとすると(6m-3)(6m-4)/2=18m^2-21m+6 通り このうち、a=b≠c となるものを考えると、 2a+c=6m-5 より、2a=6m-5-c この等式を満たす整数cは、c=1,3,5,…,6m-5 の3m-2通り 実際にはcでなくてもよいから、9m-6通りある。 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを６で割ればよい。 よって、3m-2+(18m^2-21m+6-9m+6)/6=3m^2-2m 通り n=6m-4のとき ３つの箱に区別があるとすると(6m-3)(6m-2)/2=18m^2-15m+3 通り このうち、a=b≠c となるものを考えると、 2a+c=6m-4 より、2a=6m-2-c この等式を満たす整数cは、c=0,2,4,…,6m-4 の3m-1通り 実際にはcでなくてもよいから、9m-3通りある。 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを６で割ればよい。 よって、3m-1+(18m^2-15m+3-9m+3)/6=3m^2-m 通り n=6m-3のとき ３つの箱に区別があるとすると(6m-2)(6m-1)/2=18m^2-9m+1 通り a=b=cとなる１通りを除くと18m^2-9m 通り このうち、a=b≠c となるものを考えると、 2a+c=6m-3 より、2a=6m-3-c この等式を満たす整数cは、c=1,3,5,…,6m-3 の3m-1通りだが、c=2m-1のときはa=b=cとなるので、これを除いた3m-2通り。 実際にはcでなくてもよいから、9m-6通りある。 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを６で割ればよい。 よって、1+(3m-2)+(18m^2-9m-9m+6)/6=3m^2 通り n=6m-2 のとき ３つの箱に区別があるとすると3m(6m-1)=18m^2-3m 通り このうち、a=b≠c となるものを考えると、 2a+c=6m-2 より、2a=6m-2-c この等式を満たす整数cは、c=0,2,4,,…,6m-2 の3m通り 実際にはcでなくてもよいから、9m通りある。 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを６で割ればよい。 よって、3m+(18m^2-3m-9m)/6=3m^2+m 通り n=6m-1 のとき ３つの箱に区別があるとすると3m(6m+1)=18m^2+3m 通り このうち、a=b≠c となるものを考えると、 2a+c=6m-1 より、2a=6m-1-c この等式を満たす整数cは、c=1,3,5,…,6m-1 の3m通り 実際にはcでなくてもよいから、9m通りある。 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを６で割ればよい。 よって、3m+(18m^2+3m-9m)/6=3m^2+2m 通り n=6mのとき ３つの箱に区別があるとすると(6m+2)(6m+1)/2=18m^2+9m+1 通り a=b=cとなる１通りを除くと18m^2+9m 通り このうち、a=b≠c となるものを考えると、 2a+c=6m より、2a=6m-c この等式を満たす整数cは、c=0,2,4,…,6m の3m+1通り しかし、この中には2m番目にa=b=cとなるものが含まれるので、3m通り。 実際にはcでなくてもよいから、9m通りある。 残りはa,b,cがすべて異なる場合だから、これを６で割ればよい。 よって、1+3m+(18m^2+9m-9m)/6=3m^2+3m+1 通り 以上をまとめると、 n=6m-5のとき 3m^2-2m n=6m-4のとき 3m^2-m n=6m-3のとき 3m^2 n=6m-2のとき 3m^2+m n=6m-1のとき 3m^2+2m n=6m のとき 3m^2+3m+1 きれいになったのできっと正しいと思います（笑）
- noname#598
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