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不定方程式の最小値
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5で割ると2あまり、7で割ると4あまり、11で割ると8あまる自然数をnとすると、 n = 5x + 2, n = 7y + 4, n = 11z + 8(x, y, zは整数)と表わせる。 5x + 2 = 7y + 4より5x - 7y = 2 ... (1) x = 6, y = 4は(1)の整数解の1つだから、 5・6 - 7・4 = 2 ... (2) (1) - (2)より5(x - 6) - 7(y - 4) = 0, 5(x - 6) = 7(y - 4) x - 6 = 7k, y - 4 = 5k(kは整数) x = 7k + 6, y = 5k + 4 n = 5x + 2 = 5(7k + 6) + 2 = 35k + 32 ... (3) 7y + 4 = 11z + 8より、7y - 11z = 4 ... (4) y = 10, z = 6は(4)の整数解の1つだから、 7・10 - 11・6 = 4 ... (5) (4) - (5)より7(y - 10) - 11(z - 6) = 0, 7(y - 10) = 11(z - 6) y - 10 = 11m, z - 6 = 7m(mは整数) y = 11m + 10, z = 7m + 6 n = 7y + 4 = 7(11m + 10) + 4 = 77m + 74 ... (6) (3)(6)より35k + 32 = 77m + 74, 35k - 77m = 42, 5k - 11m = 6 k = 10, m = 4は特殊解の1つだから、5(k - 10) - 11(m - 4) = 0 5(k - 10) = 11(m - 4) k - 10 = 11s, m - 4 = 5s(sは整数) k = 11s + 10, m = 5s + 4 n = 35k + 32 = 35(11s + 10) + 32 = 385s + 382 これはs = 0のとき最小だから、求めるn = 382
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