確率の問題

質問

袋に入っている１から３００までの番号がついているボール３００個から無作為に２０個をとりだしました。その２０個の番号を覚えておき、袋へ戻し、また２０個とりだしました。
（１）１回目と２回目でとりだした２０個に含まれる同じ番号のボールが７個である確率は？
（２）１回目と２回目で番号が一致するボールの数の期待値は何個？

回答No.8

taropoo · ベストアンサー

「難しく考えすぎ」とおっしゃるあなた、そう言う発言は(2)の答えを出してからにしていただきたいと思います。

それはさておきq=91264のstomachmanさんの回答で解決しました。stomachmanさんに感謝！

求める式は
E(N,n) = n^2/N　　　　…(i)
です。

E(N,0) = 0, E(N,1) = 1/Nである事は既に述べました。
ここで
F(N,n) = Σ(k=0~n) nCk (N-n) * C(n-k) /NCn = 1　　　　(ii)
これはF(N,n)が全ての事象の確率の和である事を考えれば自明です。

さて、あるN,nについて(ii)が成り立っているとします。この時
　　　　E(N+1,n+1) = Σ(k=0~n+1) k * (n+1)Ck * (N+1-n)C(n+1-k) / (N+1)C(n+1)
　　　　　　　　= Σ(k=1~n+1) k * (n+1)Ck * (N-n)C(n+1-k) / (N+1)C(n+1)
　　　　　　　　= Σ(k=0~n) (k+1) * (n+1)C(k+1) * (N-n)C(n-k) / (N+1)C(n+1)
　　　　　　　　= Σ(k=0~n) (k+1) * (n+1) / (k+1) * (n+1) / (N+1) * nCk (N-n) * C(n-k) /NCn
　　　　　　　　= (n+1)^2/(N+1) Σ(k=0~n) nCk (N-n) * C(n-k) /NCn
　　　　　　　　= (n+1)^2/(N+1)　　　　　　　　←(ii)より
よってE(N+1,n+1)においても(i)が成り立ちます。

(ii)は任意のN≧n≧k≧0について成り立つので(i)が成り立つ事が証明されました。

一見帰納法のように見えて実は違います。何故なら証明においてあるN,nにおいて(i)が成り立つ事を使ってないからです。
ま、んなことはどうでもいいのですが、これでこの設問は完結です。

お礼

taropooさん、hikaru_nijinoさん、masuo_kunさん、nagataさん、shushouさん、回答どうもありがとうございました。
期待値が
E(N,n) = n^2/N
というきれいなものになるのはちょっと感動しました。
これからもよろしくお願いします。