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確率の問題
taropooの回答
- taropoo
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早速ギブアップです。（根性ね～） 考えたのはこうです。 袋に入っている１からNまでの番号がついているボールN個から無作為にn個をとりだし、そのn個の番号を覚えておき、袋へ戻し、またn個とりだす。 １回目と２回目でとりだしたn個に含まれる同じ番号のボールがk個である確率はをP(N,n,k)とすると P(N,n,k) = nCk * (N-n)C(n-k) / NCn …(i) この時１回目と２回目で番号が一致するボールの数の期待値をE(N,n)とすると E(N,n) = n^2 / N …(ii) よってN=300, n=20を代入して、求める答えは20^2/300 = 4/3となります。 (ii)となる理由ですが以下のように証明するつもりでした。 ---------------------------------------------------------------------------- (i)より期待値E(N,n)は E(N,n) = Σ(k=0~n) k * P(N,n,k) …(iii) １．n=0の時 (iii)よりE(N,0) = 0、これは(ii)を満たす。 ２．n=1の時 (iii)より E(N,1) = 0 * P(N,1,0) + 1 * P(N,1,1) = 1C1 * (N-1)C(1-1) / NC1 = 1/N これも(ii)を満たす。 ３．あるnについて(ii)が成り立っていたとする。即ち、 E(N,n) = Σ(k=0~n) k * P(N,n,k) = n^2 / N とする。この時、 E(N,n+1) = Σ(k=0~n+1) k * P(N,n+1,k) = Σ(k=0~n+1) k * (n+1)Ck * (N-(n+1))C((n+1)-k) / NC(n+1) = Σ(k=1~n+1) k * (n+1)Ck * (N-(n+1))C((n+1)-k) / NC(n+1) ←k=0の時は0だから = Σ(k=0~n) (k+1) * (n+1)C(k+1) * (N-(n+1))C(n-k) / NC(n+1) ←kを１つずらした = … ---------------------------------------------------------------------------- この考えを推し進めて行くと E(N,n+1) = ((n+1)/n)^2 E(N,n) = (n+1)^2/N …(iv) よって数学的帰納法により(ii)が証明される事になるはずでした。 が、どう頑張っても(iv)が導き出せません。 と言うわけで情けなくもギブアップです。誰か(ii)を証明してください。 (ii)が正しい確信は持ってます。よろしく。
noname#598
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