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数学、帰納法の証明問題
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画像で見える36(1)(2)だけ回答します。 36(1) > 1^2+3^2+5^2+・・・+(2n-1)^2=(1/3)n(2n-1)(2n+1) n=1のときは、与式の左辺=(2*1-1)^2=(1)^2=1 与式の右辺=(1/3)*1*(2*1-1)(2*1+1)=(1/3)*1*1*3=1 で成り立つ。 nで与式が成り立つとき、n+1では、 与式の左辺=1^2+3^2+5^2+・・・+(2n-1)^2+{2(n+1)-1}^2 =(1/3)n(2n-1)(2n+1)+(2n+1)^2 =(1/3)(2n+1){n(2n-1)+3(2n+1)} =(1/3)(2n+1)(2n^2-n+6n+3) =(1/3)(2n+1)(2n^2+5n+3) =(1/3)(2n+1)(n+1)(2n+3) =(1/3)(n+1)(2n+2-1)(2n+2+1) =(1/3)(n+1){2(n+1)-1}{(2(n+1)+1} =与式の右辺のnをn+1とした式、 よって、0を除く自然数nで証明された。 36(2) > (n+1)(n+2)(n+3)・・・・・・・(2n)=2^n*1*3*5・・・・・(2n-1) n=1のときは、与式の左辺=1+1=2*1=2、与式の右辺=2^1*1=2 で成り立つ。 nで与式が成り立つとき、n+1では、 与式の左辺=(n+2)(n+3)(n+4)・・・{2(n+1)} =(n+2)(n+3)(n+4)・・・(2n)(2n+1){2(n+1)} =[{2^n*1*3*5・・・・・(2n-1)}/(n+1)](2n+1){2(n+1)} =2^(n+1)*1*3*5・・・・・(2n-1)(2n+1)(n+1)/(n+1) =2^(n+1)*1*3*5・・・・・(2n-1){2(n+1)-1} =与式の右辺のnをn+1とした式、 よって、0を除く自然数nで証明された。
その他の回答 (2)
数学的帰納法とは、ある証明したい式について、 (1)n=1のときに成立することを示す。 (2)n=kのときに成立すると仮定したとき、n=k+1のときにも成立することを示す。 という段取りを踏むことで、 i. (1)よりn=1のときに成立 ii. (2)とiよりn=2のときにも成立 iii. (2)とiiよりn=3のときにも成立 … ということで証明する方法です。 なので、この段取りに従って計算するだけです。 36の(1)について、 まず、 (1)n=1のときに成立することを示す。 ということで、n=1の場合、左辺、右辺はどうなりますか? (2)n=kのときに成立すると仮定したとき、n=k+1のときにも成立することを示す。 ということで、求めたいものはn=k+1のときの式である 1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2+{2(k+1)-1}^2=(k+1){2(k+1)-1}{2(k+1)+1}/3 …(3) ただ、n=kのときに成立するということを前提として使って良いので、 1^2+3^2+5^2+…+(2k-1)^2=k(2k-1)(2k+1)/3 …(4) は正しいものとして使ってよいということ。 なので、(4)式をうまくつかって(3)式が成立することを求めればよいうということ。 他も同様。
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>35,36 添付画像には、36~38が載っています。 35はありません。
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