平面上の交わる２直線に垂直な直線は、その平面に垂直、すなわち、その平面

質問

平面上の交わる２直線に垂直な直線は、その平面に垂直、すなわち、その平面上のすべての直線に垂直である。

この定理を初等幾何で示す方法を知りたいのですが、分かる方がいましたらよろしくお願い致します。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

平面上の２直線をl,mとし、それに垂直な直線をnとする。
２直線l,mの交点をOとし、Oを通る平面上のl,m以外の任意の直線をsとする。

平面上でOを中心とした適当な半径の円を描き、直線lとの交点をA,A'、直線mとの交点をB,B'とする。
また、OD=OAとなる直線n上の点をDとする。

線分ABと直線sとの交点をC、線分A'B'と直線sとの交点をC'とする。
（もし、線分ABと直線sとの交点がない場合は、BとB'を交換すれば必ず交点が存在します）

以上から、
AC=A'C'、かつ、△ABDと△A'B'Dは合同なので、
△ACD、△A'C'Dは合同
よって、CD=C'Dであり、△CC'Dは二等辺三角形となる。
OはCC'の中点なので、∠CODは直角となり、直線sは直線nと垂直である。

平面上のすべての直線は、Oを通る平行な直線が存在するので、直線nは平面上のすべての直線と垂直になる。

お礼

大変詳しいご説明どうもありがとうございます。

理解できました。
とても助かりました。

どうもありがとうございました。