a,b,c,d,s,tは正の数でs(1-a)-tb>0,-sc+t(1

質問

a,b,c,d,s,tは正の数でs(1-a)-tb>0,-sc+t(1-d)>0を
満たすs,tが存在するとき、x^2-(a+d)x+(ad-bc)=0
の解は、２つの異なる実数解で-1<x<1に存在することを示せ。

つぎの流れで考えました。
f(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc)　とおくと、y=f(x)のグラフは、-1<軸<1から、-2<a+d<2・・(1)
ｘ軸と異なる２点で交わるから、判別式＝(a+d)^2-4(ad-bc)>0・・(2)
　軸=(a+d)/2>0より、f(1)>0よって、1-(a+d)+ad-bc>0・・(3)
この(1)(2)(3)を示せればよい。
s(1-a)-tb>0,-sc+t(1-d)>0これと同値は両辺を足したものと掛けたものがどちらも正であるから、
s(1-a-c)+t(1-b-d)>0・・・(4),-s^2c(1-a)+st{(1-a)(1-d)+bc}-t^2b(1-d)>0・・・(5)
これを満たすs,t が存在するということをどう(4)(5)に反映させるかが分からなく、ここで行き詰まりました。このあとどうすればいいのか、よろしくお願いします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

質問者さんの方法に沿って考えてみると次のようになります。

＞f(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc)　とおくと、y=f(x)のグラフは、-1<軸<1から、-2<a+d<2・・(1)
＞ｘ軸と異なる２点で交わるから、判別式＝(a+d)^2-4(ad-bc)>0・・(2)
＞　軸=(a+d)/2>0より、f(1)>0よって、1-(a+d)+ad-bc>0・・(3)

　　ここはいただけません。
　　この（1）～（3）は「a,b,c,d,s,tは正の数でs(1-a)-tb>0,-sc+t(1-d)>0を満たすs,tが存在する」ことを使わずに何を証明すれば良いのかを示しているだけですので、「(a+d)/2>0」は使わずに次のようにした方が良いです。
　　f(±1)>0 ⇔ 1干(a+d)+ad-bc>0 ⇔ (1干a)(1干d)-bc>0　（複号号順）　・・・（3’）

＞この(1)(2)(3)を示せればよい。
　　ここまではOKです。

＞s(1-a)-tb>0,-sc+t(1-d)>0これと同値は両辺を足したものと掛けたものがどちらも正であるから、
＞s(1-a-c)+t(1-b-d)>0・・・(4),-s^2c(1-a)+st{(1-a)(1-d)+bc}-t^2b(1-d)>0・・・(5)

　ここは次のようにすると良いと思います。
　　s(1-a)-tb>0　・・・(A)
　　-sc+t(1-d)>0・・・（B)

　とりあえず式（A)（B)を変形して次の関係を得ます。(質問者さんは既に分かっているようですが、次の展開のためにここで言っておきます。）
　　s(1-a)>tb　∴0<a<1　　・・・(C)
　　t(1-d)>sc　∴0<d<1　　・・・(D)

　式（A)×ｃ＋式（B)×(1-a)としても不等式の向きは変わらないので次の関係が成り立ちます。
　　t{(1-a)(1-d)-bc}>0
　∴(1-a)(1-d)-bc>0　　　・・・(E)
　また(C)(D)(E)から次の関係も成り立ちます。
　　1+(a+d)+ad-bc>0
　∴(1+a)(1+d)-bc>0　　・・・(F)

　ここまでのことから(C)(D)は条件(1)を示し、(E)(f)は条件(3)を示しているので、後は条件(2)だけを示せば良い。
　ところで条件(2)の右辺は
　　(a+d)^2-4(ad-bc)=(a-d)^2+bc>0
と変形できて条件(2)を満足させることが示される。

　従って、以上のことから　与えられた2次方程式の解は2つの異なる実数解で-1<x<1に心材することが示された。

　あとはこのままの証明では行ったり来たりで煩雑になりますので、順番を前後逆にして記述すると良いと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
s(1-a)>tb　∴0<a<1　　・・・(C)
t(1-d)>sc　∴0<d<1　　・・・(D)
の部分に気づいていませんでした。
もう少し、与えられた２つの不等式について考えるべきでした。
考える筋道がよく分かりました。

回答No.4

naniwacchi

#2です。

回答を書くときに注意すべき点を以下に。

問題で問われていることを端的に書くと、次のようになります。
2つの不等式を満たす s, tが存在する ⇒ 2次方程式は -1< x< 1なる 2つの実数解をもつ

ですので、「回答を書く順番」としては
1) まずは 2つの不等式から、a, b, c, dが満たすべき条件式（不等式）を見つけます。
2) 1)で見つけた不等式を用いて、2次方程式に関する条件が満たされていることを示します。

とならないといけません。

質問で書いている内容がダメだということではありません。
「考えていく順番」としては、それでも構わないのです。＾＾

お礼

回答ありがとうございます。
解答をかきながら、順番がおかしいなという感じは
ありました。確かに、順番を入れ替えたほうが良いと
私も思います。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
少し条件がゆるいような気がします・・・

(1)式：軸が -1＜ x＜ 1の間にある
(2)式：判別式の条件
(3)式：軸の位置が正

(1)式と (3)式の条件がともに軸に関するもので重複していますね。

そして、これだけでは値が小さい方の実数解が -1よりも大きいということが言えていません。
（例：x＝ -2という実数解があったとしても、上の条件は満たすことができる。）
まずはグラフから条件を洗い直した方がよいですね。

一方、a, b, c, d, s, tの条件について文字が多いですが、st平面（横軸が s、縦軸が t）上で一度考えてみてください。
問題文が原文のままであるならば、「不等式を満たす s, tが存在するとき」という表現から
a, b, c, dに関して成り立つべき不等式を 1つ得ることができます。
（この不等式が大きな威力を発揮してくれるはずです）

お礼

回答ありがとうございます。
問題文が原文のままであるならば、「不等式を満たす s, tが存在するとき」という表現から
a, b, c, dに関して成り立つべき不等式を 1つ得ることができます。
ここのところの処理についての理解が十分でなかったと思います。
存在するということから、式の中にs,tを入れたまま考えようとしたのが、いけなかったように
思いました。

回答No.1

mister_moonlight

＞このあとどうすればいいのか、

不要なものは消してやる、というのは大原則。
方程式の係数にに、sとt が含まれない事に着目する。

s(1-a)＞tb>0、t(1-d)>sc＞0　‥‥(1)　だから、2辺をかけると、st＞0から、(1-a)*(1-d)＞bc。
(1)から、0＜a＜1、0＜d＜1　(1＋a)*(1＋d)＞(1-a)*(1-d)＞bc　となるから、判別式＝(a-d)＾2＋4bc＞0と併せて、(1)(2)(3)は全て証明できるだろう。

お礼

回答ありがとうございます。
s,tが存在するという表現から、s,tを消去してはまずいのでないか
という先入観が働らいてしまいました。s,tを消去することは考え
ませんでした。